Teorema Hardy-Ramanujan

În matematică , teorema Hardy - Ramanujan [ 1] afirmă că rata de creștere a numărului de divizori primi diferiți ai unui număr este determinată de funcția logaritmului iterat - , iar „împrăștierea” numărului de divizori este determinată de rădăcina pătrată a acestei funcții. $\omega(n)$ $n$ $\log(\log(n))$

Teorema

Fie o funcție reală astfel încât , și fie numărul de numere naturale , pentru care este valabilă următoarea inegalitate $f(n)$ $\lim _{n\to \infty }f(n)=\infty$ $g(x)$ $n<x$

|\omega (n)-\log(\log(n))|<f(n){\sqrt {\log(\log(n))))

sau mai tradițional

|\omega (n)-\log(\log(n))|<{(\log(\log(n)))}^{{\frac {1}{2))+\varepsilon }

, Unde

\varepsilon >0

Apoi

\lim _{x\to \infty }{\frac {g(x)}{x}}=1

O dovadă simplă a acestei teoreme a fost găsită de Pal Turan .

Generalizări și amplificări

Același rezultat este valabil și pentru numărul tuturor factorilor primi din expansiunea numărului . $n$

Această teoremă este generalizată de teorema Erdős-Kac , care demonstrează că distribuția diferiților divizori primi ai numerelor naturale este normală cu „medie” și „varianță” egale . Astfel, există o anumită legătură între distribuția numărului de divizori primi și legile limită ale teoriei probabilităților - teorema limită centrală și legea logaritmului iterat . $\log(\log(n))$

Note

↑ Hardy, G. H. & Ramanujan, S. (1917), The normal number of prime factors of a number , Quarterly Journal of Mathematics vol. 48: 76–92 , < http://www.imsc.res.in/~rao /ramanujan/CamUnivCpapers/Cpaper35/page1.htm > Arhivat 21 mai 2013 la Wayback Machine