Teorema Erdős-Kac

Teorema Erdős-Kac este o afirmație în teoria numerelor care conectează distribuția numărului diferiților divizori primi ai numerelor mari cu formulele legilor limită ale teoriei probabilităților . Acest rezultat al teoriei numerelor , obținut de Pal Erdős și Mark Katz în 1940, afirmă că dacă este numărul diferiților divizori primi ai numărului , atunci distribuția limită a cantității $\omega(n)$ $n$

{\frac {\omega (n)-\log \log n}{\sqrt {\log \log n})}

este distribuția normală standard . Aceasta este o generalizare profundă a teoremei Hardy-Ramanujan , care afirmă că valoarea „medie” este , iar „abaterea standard” nu este mai mare de . $\omega(n)$ $\log \log n$ ${\sqrt {\log \log n)}$

Teorema

Mai formal, teorema afirmă că, pentru orice fix , avem : $a<b$

\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {1}{x}}\left|\left\{n\leq x:a\leq {\frac {\omega (n)-\log \log n}{\sqrt {\log \log n))}\leq b\right\}\right|=\Phi (a,b)

Unde

\Phi (a,b)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{a}^{b}e^{-t^{2}/2}\ ,dt.

Dovada originală

În demonstrația originală [1] , afirmația despre normalitatea distribuției din prima lemă a teoremei se bazează pe faptul că funcția este aditivă și poate fi reprezentată ca suma indicatorilor de divizibilitate prime . În plus, fără a introduce conceptul de variabilă aleatoare, autorii susțin că termenii indicatori sunt independenți [2] . Apoi, fără a intra în detalii, autorii se referă la sursa [3] , unde se dovedește normalitatea distribuției pentru sume de variabile aleatoare slab dependente [4] . La sfârșitul dovezii, autorii își cer scuze pentru superficialitatea lemei „statistice” [5] . $\omega(n)$

În 1958, Alfred Renyi și Pal Turan au dat o dovadă mai exactă.

Caracteristici

Teorema este despre distribuția variabilelor deterministe și nu despre distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare . Dar dacă se alege un număr aleatoriu pe un segment suficient de mare de numere naturale , atunci numărul de divizori primi diferiți ai acestui număr va avea o distribuție aproximativ normală, cu așteptări matematice și varianță egale cu valoarea medie a segmentului. Deoarece această funcție, numită logaritm iterat, crește lent, o astfel de mediere nu va duce la o eroare mare chiar și pe intervale foarte lungi. Tipul de distribuție leagă teorema Erdős-Kac cu teorema limită centrală . $n$ $\log \log n$

Rata de creștere a logaritmului iterat

Logaritmul iterat este o funcție cu creștere extrem de lentă. În special, numerele de până la un miliard conțin, în medie, trei numere prime în descompunerea în numere prime.

De exemplu 1.000.000.003 = 23 × 307 × 141.623 .

n	Numărul de caractere în n	Numărul mediu de numere prime în expansiune	abatere medie
1000	patru	2	1.4
1.000.000.000	zece	3	1.7
1.000.000.000.000.000.000.000.000	25	patru	2
10 65	66	5	2.2
10 9566	9567	zece	3.2
10 210 704 568	210 704 569	douăzeci	4.5
10 10 22	10 22 +1	cincizeci	7.1
10 10 44	10 44 +1	100	zece
10 10 434	10 434 +1	1000	31.6

Dacă umpleți o minge de dimensiunea Pământului cu nisip, aveți nevoie de aproximativ 10 33 de boabe de nisip. Ar fi nevoie de 1093 de boabe de nisip pentru a umple partea vizibilă a universului. 10.185 de șiruri cuantice pot încăpea acolo .

Numerele de această dimensiune - cu 186 de cifre - constau în medie din doar 6 numere prime în descompunere.

Note

↑ Paul Erdős , Mark Kac. Legea gaussiană a erorilor în teoria funcțiilor teoretice de numere aditive // American Journal of Mathematics. - 1940. - T. 62 , Nr. 1/4 . - S. 738-742 . Arhivat din original pe 17 octombrie 2014. (MR2, 42c; Zentralblatt 24, 102
↑ Dacă un număr este divizibil cu , atunci nu este divizibil cu un număr prim . Aceasta înseamnă că dacă mai mulți indicatori iau valoarea 1, atunci indicatorii rămași sunt egali cu 0. Indicatorii sunt slab interdependenți și, în plus, au distribuții diferite. $n$ $m$ $p>{\frac {n}{m)}$
↑ Cf. de exemplu, primul capitol al lucrării lui S. Bernstein, „Sur I'extension du theoreme limite du calcul des probabilites aux sommes de quantites dependantes”, Mathematische Annalen, voi. 97, pp. 1-59.
↑ Interdependența termenilor este aparent presupusă, dar nu specificată.
↑ Citate de autori.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Teorema Erdős–Kac (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Timothy Gowers: Importanța matematicii (partea 6, 4 minute) și (partea 7)