Teorema de monotonitate a lui Alexandrov

Teorema de monotonitate a lui Aleksandrov este o teoremă asupra poliedrelor convexe , demonstrată de A. D. Aleksandrov în 1937 [1] , [2] , [3] .

Formulări

Direct

Dacă se stabilește o corespondență unu-la-unu între fețele a două poliedre convexe închise în spațiul euclidian tridimensional, astfel încât (i) normalele unității cu fețele corespunzătoare să coincidă și (ii) niciuna dintre fețe să nu poată fi plasată în interiorul fața corespunzătoare printr-o translație paralelă, apoi poliedrele sunt obținute dintr-o alta prin transfer paralel (și, în special, sunt congruente ).

Prin funcții monotone

O funcție se numește funcție poligonică monotonă dacă are proprietatea: , dacă poate fi plasată în interiorul . $f(Q)$ $Q$ $f(Q_{1})>f(Q_{2})$ $Q_{2}$ $Q_1$

Fie și politopuri convexe închise în spațiul euclidian tridimensional cu fețe și , respectiv, și pentru oricare sunt îndeplinite următoarele condiții: (i) normalele unității la fețele și coincid și (ii) există o funcție monotonă astfel încât . Apoi politopii și sunt obținuți unul de celălalt prin translație paralelă (și, în special, sunt congruenți ). $P_1$ $P_2$ $Q_{1}^{1},\puncte ,Q_{1}^{n}$ $Q_{2}^{1},\puncte ,Q_{2}^{n}$ $k=1,\dots ,n$ $Q_{1}^{k}$ $Q_{2}^{k}$ $f_{k}$ $f_{k}(Q_{1}^{k})=f_{k}(Q_{2}^{k})$ $P_1$ $P_2$

Note

Pentru spațiul tridimensional, teorema poliedrelor convexe a lui Aleksandrov generalizează teorema de unicitate a lui Minkowski , afirmând că „două poliedre egale cu fețe paralele în perechi și cu suprafață egală sunt egale și paralele”. Într-adevăr, este suficient aici să luăm aria ca o funcție monotonă a unui poligon. $f(Q)$
Afirmația rezultată din teorema lui Aleksandrov asupra poliedrelor convexe, dacă luăm perimetrul ca funcție monotonă a unui poligon din el, este interesantă prin faptul că de mai bine de 70 de ani geometrii nu au reușit să găsească o teoremă de existență corespunzătoare. $f(Q)$
Într-un spațiu euclidian de dimensiunea 2, o afirmație analogă teoremei poliedrelor convexe a lui Aleksandrov este adevărată, dar trivială .
În spațiul euclidian de dimensiunea 4 (și în toate dimensiunile superioare), o afirmație similară cu teorema poliedrelor convexe a lui Aleksandrov nu este adevărată . Ca contraexemplu, putem lua un cub cu patru dimensiuni cu muchia 2 și o cutie dreptunghiulară cu patru dimensiuni cu muchiile 1, 1, 3, 3.
Pentru egalitatea poliedrelor convexe multidimensionale când fețele lor bidimensionale paralele nu sunt încorporabile, vezi [4] .

Vezi și

Teorema lui Alexandrov asupra desfăşurării unui poliedru

Note

↑ A.D. Aleksandrov , Dovada elementară a teoremei Minkowski și alte câteva teoreme asupra poliedrelor convexe , Izvestiya AN SSSR. Ser. mat. 1 , Nr. 4, 597-606 (1937).
↑ A.D. Aleksandrov , Poliedre convexe . M.; L.: GITTL, 1950.
↑ L.A. Lyusternik , figuri convexe și poliedre . M.: GITTL, 1956.
↑ A.I. Medyanik, O generalizare a teoremei unicității de A.D. Aleksandrov pentru poliedre convexe închise în cazul spațiului -dimensional $n$ , Ukr. geom. sat. 8 , 91-94 (1970).