Teorema poliedrelor lui Minkowski
Teorema Minkowski asupra politopilor este numele comun pentru două teoreme privind existența și unicitatea unui politop convex închis cu direcții și zone ale feței date.
|
Teorema unicității lui Minkowski: Dacă se stabilește o corespondență unu-la-unu între fețele a două poliedre convexe închise astfel încât (i) normalele unității la fețele corespunzătoare sunt aceleași și (ii) ariile fețelor corespunzătoare sunt aceleași , atunci poliedrele sunt obținute una de la alta printr-o translație paralelă (și în special , sunt congruente ). |
Este ușor de demonstrat că dacă sunt vectorii unitari ai normalelor exterioare ale fețelor unui poliedru convex și sunt ariile fețelor corespunzătoare, atunci . Următoarea teoremă arată că condiția indicată este singura care leagă zonele fețelor și normalele de acestea:
|
Teorema existenței lui Minkowski: Dacă sunt vectori unitari arbitrari, nu toți direcționați către același semi-spațiu și sunt numere pozitive arbitrare, și , atunci există un poliedru convex pentru care vectorii (și numai ei) sunt vectori ai normalelor unității exterioare la fețe, iar numerele sunt fețe de zone. |
Comentarii
- Ambele teoreme au fost demonstrate de Hermann Minkowski în 1897 [1] . El avea nevoie de ele pentru a crea bazele matematice ale cristalografiei [2] .
- Ambele teoreme ale lui Minkowski sunt adevărate în toate spațiile euclidiene de dimensiunea 2 și mai sus [3] [4] .
- Teoremele sunt generalizate în cazul suprafețelor convexe arbitrare, vezi problema Minkowski
- Sub anumite restricții, teoreme similare sunt valabile și pentru poliedre neconvexe [5] .
- În spațiul tridimensional, o generalizare a teoremei de unicitate Minkowski este teorema lui Aleksandrov asupra poliedrelor convexe , afirmând că „Dacă două poliedre convexe au toate perechile de fețe paralele, astfel încât niciuna dintre fețe nu poate fi plasată în interiorul celeilalte prin translație paralelă, atunci astfel de poliedre. sunt egale și paralele.”
- Una dintre consecințe este teorema Aleksandrov-Shepard-McMullen conform căreia un poliedru convex cu fețe simetrice central este el însuși simetric central.
Note
- ↑ H. Minkowski , Allgemeine Lehrsätze über die convexen Polyeder (link indisponibil) . — Am înțeles. Nachr. 198-219 (1897). Traducere rusă: G. Minkowski, Teoreme generale asupra poliedrelor convexe , Uspekhi Mat. științe, voi. 2 , 55-71 (1936).
- ↑ A. D. Aleksandrov , B. N. Delaunay , N. N. Padurov, Fundamentele matematice ale analizei structurale a cristalelor și determinarea paralelipipedului principal de repetabilitate folosind raze X. - M .; L .: Gostekhizdat, 1934.
- ↑ A. D. Alexandrov , Poliedre convexe . - M .; L. : GITTL, 1950.
- ↑ L. A. Lyusternik , Figuri convexe și poliedre . — M .: GITTL, 1956.
- ↑ V. Alexandrov, Teoreme de tip Minkowski și de tip Alexandrov pentru herisson poliedri Arhivat la 1 octombrie 2018 la Wayback Machine , Geom. Dedicata 107 , 169-186 (2004). DOI 10.1007/s10711-004-4090-3.