Teorema de partajare a pizza

Teorema împărțirii pizza afirmă că ariile a două arii obținute prin tăierea unui cerc într-un anumit mod sunt egale .

Numele teoremei reflectă tehnica clasică de tăiere a pizza . Teorema arată că dacă doi oameni taie o pizza în acest fel și iau pe rând feliile, atunci fiecare persoană va primi aceeași cantitate de pizza.

Enunțul teoremei

Fie p un punct interior al discului și fie n multiplu de 4 și cel puțin 8. Să tăiem discul în n sectoare cu unghiuri egale (egale cu radiani ) de-a lungul liniilor care trec prin punctul p . Numerotăm sectoarele secvenţial în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic. Atunci teorema pizza spune că:

Suma ariilor sectoarelor impare este egală cu suma ariilor sectoarelor pare [2] .

Istorie

Teorema de partajare a pizza a fost propusă inițial ca o problemă de provocare de către Leslie Upton ( ing.  LJ Upton ) [2] . Soluția publicată la această problemă de Michael  Goldberg a folosit o aplicare directă a expresiilor algebrice pentru zonele sectoarelor.

L. Carter ( ing.  Larry Carter ) și S. Wagon ( ing.  Stan Wagon ) [1] au dat o dovadă alternativă prin tăierea . Ei au arătat cum să tăiați sectoarele în bucăți mai mici, astfel încât fiecare piesă dintr- un sector impar să aibă o bucată congruentă într-un sector par și invers. G. Frederickson ( ing.  Greg Frederickson ) [3] a dat o familie de dovezi de disecție pentru toate cazurile (în care numărul de sectoare este 8, 12, 16, ... ).

Generalizări

Cerința ca numărul de sectoare să fie un multiplu de patru este esențială - acest lucru a arătat Don Coppersmith ; împărțirea discului în patru sectoare sau un număr de sectoare care nu este divizibil cu patru, de obicei nu oferă zone egale. Marby ( ing.  Rick Mabry ) și Dierman ( ing.  L. Paul Deiermann ) [4] au răspuns la soluția lui Carter și Wagon [5] , dând o versiune mai precisă a teoremei , care determină care dintre mulțimile de sectoare va avea o suprafață mare dacă suprafețele nu sunt egale. În special, dacă numărul de sectoare este comparabil cu 2 ( mod 8) și niciuna dintre tăieturi nu trece prin centrul discului, atunci subsetul de piese care conține centrul are o suprafață mai mică; în timp ce în cazul în care numărul de sectoare este comparabil cu 6 (mod 8) și niciuna dintre tăieturi nu trece prin centru, setul de piese care conține centrul are o suprafață mare. Un număr impar de sectoare este imposibil cu tăieturi drepte, iar o tăietură prin centru face ca ambele seturi de sectoare să fie egale ca suprafață, indiferent de numărul de sectoare.

Marby și Dyerman [4] au mai observat că în cazul în care pizza este împărțită în mod egal, atunci și marginea este împărțită în mod egal (marginea poate fi considerată fie perimetrul pizza, fie zona dintre marginea cercului (pizza). ) și un cerc mai mic cu același centru, cu condiția ca punctul de diviziune să se afle în acest cerc mai mic), deoarece discurile mărginite de ambele cercuri sunt împărțite în mod egal, la fel și diferența lor. Cu toate acestea, dacă pizza nu este împărțită uniform, atunci mâncătorul care obține cea mai mare suprafață a pizza primește o felie mai mică de margine.

După cum au observat Hischhorns [6] , împărțirea egală a unei pizza are ca rezultat o împărțire egală a topping-ului, dacă topping-ul este distribuit într-un cerc (nu neapărat concentric cu cercul pizza) care conține punctul central p al împărțirii în sectoare.

O generalizare a teoremei pizza pentru o minge n-dimensională a fost propusă în lucrarea lui Yu. A. Brailov: unui set de hiperplane, care are o proprietate similară, corespunde unui grup de reflexie finit de tip B_n [7] .

Rezultate înrudite

Hirshhorns [6] a arătat că o pizza tăiată ca în teorema pizza în n sectoare cu unghiuri egale, unde n este divizibil cu patru, poate fi împărțită în mod egal între n /4 persoane. De exemplu, o pizza împărțită în 12 sectoare poate fi împărțită în mod egal între trei persoane. Totuși, pentru a distribui o pizza între cinci persoane, este necesară împărțirea pizza în 20 de sectoare.

Cybulka, Kinchl et al [8] și Knauer, Micek, Jokordt [9] au studiat jocul alegerii feliilor gratuite de pizza pentru a garanta majoritatea, problemă propusă de Dan Brown și Peter Winkler . În versiunea problemei studiate de ei, pizza este împărțită radial (fără nicio garanție că unghiurile sectoarelor sunt egale) iar cei doi meseni aleg alternativ felii de pizza care sunt adiacente sectoarelor pe care le-au mâncat deja. Dacă doi meseni încearcă să maximizeze cantitatea de pizza consumată, atunci cinarul care ia prima felie își poate garanta 4/9 din întreaga pizza și există bucăți de pizza de unde nu poate obține mai mult. Problema împărțirii echitabile sau împărțirii plăcintei ia în considerare jocuri similare în care jucători diferiți au criterii diferite pentru măsurarea mărimii cotei lor. De exemplu, un consumator ar putea prefera mai mult pepperoni , în timp ce altul ar putea prefera brânza [10] .

Vezi și

Alte calcule matematice apropiate de împărțirea pizza includ secvențe furnizori leneși  , o secvență de numere întregi reprezentând numărul maxim de felii de pizza care pot fi obținute prin tăieturi directe, precum și teorema sandvișului privind tăierea obiectelor tridimensionale, din cele două -versiune dimensională din care rezultă că pizza este chiar urâtă forma poate fi împărțită în jumătate de-a lungul zonei și de-a lungul marginii în același timp printr-o tăietură, iar din versiunea tridimensională a teoremei rezultă că există o plan care împarte în mod egal baza și umplutura.

Note

  1. ↑ 12 Carter, Wagon, 1994a .
  2. ↑ 12 Upton , 1968 .
  3. ↑ Frederickson, 2012 .
  4. ↑ 1 2 Mabry, Deiermann, 2009 .
  5. ↑ Carter, Wagon, 1994b .
  6. ↑ 12 Hirschhorns , 1999 .
  7. ↑ Brailov Yu. A. Grupuri de reflecție și teorema pizza  // Algebra i Analiz. - 2021. - T. 33 , nr. 6 . - S. 1-8 . Arhivat din original pe 28 noiembrie 2021.
  8. ↑ Cibulka, Kynčl et al., 2010 .
  9. ↑ Knauer, Micek, Ueckerdt, 2011 .
  10. ↑ ON Musina, E. F. Ott. Produse funcționale noi - brânză moale „Globozum” și brânză semitare „Pladolens” // Fabricarea brânzei și fabricarea untului. - 2019. - Emisiune. 2 . — S. 14–16 . — ISSN 2073-4018 . - doi : 10.31515/2073-4018-2019-2-14-16 .

Literatură