Teorema valorii intermediare

Teorema valorii intermediare (sau teorema Bolzano-Cauchy ) afirmă că dacă o funcție continuă definită pe un interval real ia două valori, atunci ia orice valoare între ele.

Formulare

Fie dată o funcție continuă pe un segment Să presupunem, de asemenea, fără pierdere de generalitate, că Atunci pentru orice există astfel încât . $f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )}.$ $f(a)\neq f(b),$ $f(a)=A<B=f(b).$ $C\în [A,B]$ $c\in[a,b]$ $f(c)=C$

Dovada

Să considerăm funcția Este continuă pe decâtmică.maișisegment ) . $g(x)=f(x)-C.$ $[a,b]$ $g(a)<0$ $g(b)>0.$ $c\in[a,b]$ $g(c)=0.$ $[a,b]$ $x_{0}$ $g(x_{0})=0$ $c=x_{0)$ $g(x_{0})\neq 0$ $g(x)$

Indicând segmentul rezultat , îl împărțim din nou în două segmente de lungime egală etc. Apoi, fie după un număr finit de pași ajungem la punctul dorit , fie obținem o succesiune de segmente imbricate care tind spre zero în lungime și astfel încât $[a_{1},b_{1}]$ $c$ $[a_{n},b_{n}]$

$g(a_{n})<0<g(b_{n}).$

Fie - un punct comun al tuturor segmentelor (conform principiului lui Cantor , el există și este unic) , Apoi și datorită continuității funcției $c$ $[a_{n},b_{n}]$ $n=1,2,...$ $c=\lim a_{n}=\lim b_{n},$ $g(x):$

$g(c)=\lim g(a_{n})=\lim g(b_{n}).$

Pentru că

$\lim g(a_{n})\leq 0\leq \lim g(b_{n}),$

înţelegem asta $g(c)=0.$

Consecințele

(Teorema asupra zeroului unei funcții continue.) Dacă o funcție este continuă pe un anumit segment și ia semne opuse la capetele acestui segment, atunci există un punct în care este egală cu zero . Formal: lasă și Apoi astfel încât $f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )},$ $\operatorname {sgn} (f(a))\neq \operatorname {sgn} (f(b)).$ $\există c\în [a,b]$ $f(c)=0.$
În special, orice polinom de grad impar are cel puțin un zero.

Notă

Uneori (în cursurile de pregătire) afirmația pentru zero se numește prima teoremă Bolzano - Cauchy , iar afirmația generală se numește a doua teoremă [1] . De fapt sunt echivalente. [2]

Generalizare

Teorema Bolzano-Cauchy poate fi generalizată la spații topologice mai generale . Orice funcție continuă definită pe un spațiu topologic conectat care ia oricare două valori ia, de asemenea, orice valoare între ele. Notație formală: să fie dat un spațiu topologic conex și o funcție Let și Apoi $f\colon X\la \mathbb{R}$ $(X,{\mathcal {T}}),$ $f\în C(X).$ $x_{1},x_{2}\în X,\;f(x_{1})=y_{1},\;f(x_{2})=y_{2},$ $y_{1}<y_{2}.$

\forall y\in [y_{1},y_{2}]\;\există x\in X\;f(x)=y.

În această formulare, teorema este un caz special al teoremei conform căreia imaginea unei mulțimi conectate sub o mapare continuă este conectată.

Istorie

Teorema a fost formulată independent de Bolzano în 1817 și de Cauchy în 1821.

Vezi și

Note

↑ Analiza matematică: Funcții continue . Data accesului: 24 ianuarie 2010. Arhivat din original pe 24 noiembrie 2010. (nedefinit)
↑ Shilov, 1969 , p. 163.

Literatură

Shilov G.E. Analiza matematică (funcțiile unei variabile). - M. : Nauka, 1969. - 528 p.