Spațiu conectat

Un spațiu conex este un spațiu topologic nevid care nu poate fi împărțit în două submulțimi deschise nevide și neintersectate.

Definiție

Spațiul gol este considerat deconectat.

Un spațiu topologic nevid se numește deconectat dacă poate fi reprezentat ca unirea a două submulțimi deschise nevide și neintersectate .

Un spațiu topologic nevid care nu este deconectat se numește conectat .

O submulțime a unui spațiu topologic se numește conexat dacă, împreună cu topologia sa indusă , formează un spațiu conex.

Definiții echivalente

Fie X un spațiu topologic. Atunci următoarele condiții sunt echivalente:

X este conectat.
X nu poate fi împărțit în două submulțimi închise nevide și neintersectate.
Singurele submulțimi ale lui X care sunt atât deschise, cât și închise sunt mulțimea goală și întregul spațiu al lui X. $\varnothing$
Singurele submulțimi cu o limită goală sunt mulțimea goală și întregul spațiu X . $\varnothing$
X nu poate fi reprezentat ca unirea a două mulțimi nevide, fiecare dintre ele nu intersectează închiderea celeilalte.
Singurele funcții continue de la X la o mulțime de două puncte (cu topologie discretă) sunt constantele.

Definiții înrudite

Fiecare submulțime conectată a spațiului este conținută într-o submulțime conexă maximă. Astfel de submulțimi conexe maxime sunt numite componente conexe ( componente conectate , componente ) ale spațiului . $X$ $X$
- Un spațiu în care fiecare componentă conectată constă dintr-un singur punct se numește complet deconectat . Exemple sunt orice spații cu topologie discretă, spațiul numerelor raționale pe linia reală și
mulțimea Cantor . $\mathbb {Q}$

Dacă există o bază a topologiei unui spațiu , constând din mulțimi deschise conectate, atunci topologia spațiului și spațiul însuși (în acea topologie) se spune că sunt conectate local .

X

X

X

Un spațiu Hausdorff compact conex se numește continuu .

Spațiul , pentru oricare două puncte diferite și pentru care există mulțimi disjunctive deschise și astfel încât , se numește complet separat .

X

X

y

U\ni x

V\ni y

X=U\cup V

Evident, orice spațiu complet separat este complet deconectat, dar invers nu este adevărat. Luați în considerare un set format din două copii ale setului . Introducem o relație de echivalență prin regulă și construim un spațiu de coeficient cu topologie de coeficient în raport cu această relație. Acest spațiu va fi complet deconectat, dar pentru două (prin definiție distincte din punct de vedere topologic) copii ale lui zero, nu există două mulțimi deschise care să satisfacă definiția unui spațiu complet separat.

\mathbb {Q}

q\sim p\Leftrightarrow q=p,\;q\neq 0,\;p\neq 0

Proprietăți

În orice spațiu topologic, mulțimea goală și mulțimile cu un punct sunt conectate. Cu toate acestea, unii autori nu consideră că setul gol este conectat. (Cu toate acestea, unii autori nu consideră că acesta este nici un set.)
Într-un spațiu conectat, fiecare submulțime (cu excepția submulțimii goale și a întregului spațiu) are o limită nevidă .
- Subseturile cu o limită goală sunt atât submulțimi deschise, cât și submulțimi închise și sunt numite submulțimi deschise-închise . Într-un spațiu conectat, toate submulțimile clopene sunt triviale, fie goale, fie coincid cu întregul spațiu.
Imaginea unui set conectat sub o mapare continuă este conectată.
Conexiunea unui spațiu este o proprietate topologică, adică o proprietate care este invariabilă sub homeomorfisme .
Închiderea unui subset conectat este conectată. $A$
- Mai mult, orice subset „intermediar” ( ) este de asemenea conectat. Cu alte cuvinte, dacă o submulțime conectată este densă în , atunci și mulțimea este conectată. $B$ $A\subset B \subset \bar{A}$ $A$ $B$ $B$
Fie o familie de mulțimi conectate, fiecare dintre ele având o intersecție nevidă cu o mulțime conexă . Apoi setul $\{A_{\alpha}\}$ $A$ $A\cup \left(\bigcup _{\alpha }A_{\alpha }\right)$

de asemenea conectat. (Adică, dacă o familie arbitrară de mulțimi conectate este lipită de o mulțime conectată, uniunea va rămâne întotdeauna conectată.)

Produsul spațiilor conectate este conectat. Dacă cel puțin unul dintre factori este deconectat, produsul va fi deconectat.
Fiecare componentă a spațiului este un set închis. Diferitele componente ale spațiului nu au puncte comune. Componentele conexe ale unei submulțimi spațiale sunt submulțimile conexe maxime ale mulțimii . $X$ $X$ $A$ $X$ $A$
O mapare continuă de la un spațiu conectat la un spațiu complet deconectat se reduce la o mapare la un singur punct.
Spațiile conectate local nu trebuie să fie conectate, iar spațiile conectate nu trebuie să fie conectate local.
Într-un spațiu conectat local, componentele conectate sunt deschise.
Orice spațiu conectat la cale este conectat.
- Reversul nu este adevărat; de exemplu, închiderea graficului unei funcții este conexă, dar nu conexă liniar (acest set conține un segment pe axa y). $\sin\tfrac1x$ $[-1,1]$

Exemple

Un pseudoarc este un exemplu de continuum complet deconectat liniar.
Ventilatorul Knaster-Kuratovsky este un exemplu de astfel de subset al planului conectat, încât eliminarea unui punct din acesta îl face complet deconectat .
Mulțimea Mandelbrot este un exemplu de mulțime conexă față de care nu se știe dacă este conectată în cale.

Variații și generalizări

spațiu conectat la cale