Teorema rădăcinilor raționale

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 22 noiembrie 2021; verificările necesită 4 modificări .

În algebră , teorema rădăcinilor raționale (de asemenea testul pentru rădăcinile raționale ) definește un cadru pentru rădăcinile raționale ale unui polinom de forma:

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}=0$

cu coeficienți întregi și . $a_{i}$ $a_{0},a_{n}\neq 0$

Teorema afirmă că fiecare rădăcină rațională , unde și sunt numere coprime , îndeplinește condiția ca $x=p/q$ $p$ $q$

$p$ este un divizor al termenului liber , $a_{0}$

$q$ este divizorul coeficientului principal . $un$

Teorema rădăcinilor raționale este un caz special al lemei Gauss .

Aplicație

Teorema este folosită pentru a găsi toate rădăcinile raționale ale unui polinom, dacă există. Cu ajutorul acestuia, se determină un număr finit de soluții posibile care trebuie testate prin substituție. Dacă se găsește o rădăcină rațională , polinomul original poate fi împărțit fără rest prin pentru a obține un polinom de grad mai mic ale cărui rădăcini sunt și rădăcinile polinomului original. $x=r$ $xr$

Ecuație cubică

Ecuația cubică în formă generală:

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

cu coeficienți întregi are trei soluții în numere complexe . Dacă testul pentru rădăcini raționale nu dezvăluie niciunul, atunci singura modalitate de a exprima soluții este utilizarea rădăcinilor cubice . Totuși, dacă se găsește cel puțin o soluție rațională r , scoaterea ( x - r ) dintre paranteze duce la o ecuație pătratică , care poate fi rezolvată prin discriminant .

Dovada

Lăsa:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0},a_{0 },...a_{n}\în Z$ .

Să presupunem că pentru unele numere întregi coprime și : $P(p/q)=0$ $p$ $q$

$P\left({\frac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n- 1}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n-1}+...+a_{1}\left({\frac {p}{q}}\right)+ a_{0}=0$ .

Înmulțind ambele părți ale ecuației cu , scotând din paranteze și transferând termenul liber cu semnul opus în partea dreaptă a ecuației, obținem: $q^{n}$ $p$

$p(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+...+a_{1}q^{n-1})=-a_ {0}q^{n}$ .

Se poate vedea că este un divizor . Dar și sunt numere coprime, ceea ce înseamnă că trebuie să fie și un divizor . $p$ $a_{0}q^{n)$ $p$ $q$ $p$ $a_{0}$

Dacă, dimpotrivă, transferăm termenul principal în partea dreaptă a ecuației și îl scoatem din paranteze, obținem: $q$

$q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+...+a_{0}q^{n-1})= -a_{n}p^{n}$ .

Să facem o concluzie despre divizibilitatea cu [1] . $un$ $q$

Exemple

Exemplul 1

Fiecare rădăcină rațională a unui polinom

$2x^{3}+x-1$

trebuie să aibă un divizor de unu la numărător și un divizor de doi la numitor. Astfel, posibilele rădăcini raționale sunt și . Cu toate acestea, niciunul dintre ele nu transformă expresia la zero, prin urmare, polinomul nu are rădăcini raționale. $\pm {\frac {1}{2)}$ $\pm 1$

Exemplul 2

Fiecare rădăcină rațională a unui polinom

$x^{3}-7x+6$

trebuie să aibă un divizor de șase la numărător și un divizor de unu la numitor, din care rădăcinile posibile sunt . Dintre acestea , și transformați expresia la zero, fiind astfel rădăcinile polinomului. $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$ $unu$ $2$ $-3$

Note

↑ Arnold, Denise. 4 unități de matematică . - Melbourne: Edward Arnold, 1993. - 306 pagini p. - ISBN 0340543353 , 9780340543351.

Literatură

Miller CD, Lial ML, Schneider DI Fundamentele algebrei universitare . — ediția a 3-a. — Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 1990. — P. 216–221 . - ISBN 0-673-38638-4 .
Jones PS, Bedient JD Rădăcinile istorice ale matematicii elementare . - Dover Courier Publications, 1998. - P. 116-117. — ISBN 0-486-25563-8 .
Larson R. Calcul: o abordare aplicată . - Cengage Learning, 2007. - P. 23–24. - ISBN 978-0-618-95825-2 .