Discriminant

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 23 ianuarie 2022; verificările necesită 23 de modificări .

Discriminantul unui polinom este un concept matematic (în algebră ), notat cu literele D sau Δ [1] .

Pentru un polinom , , discriminantul său este produsul $p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}$ $a_{n}\neq 0$

D(p)=a_{n}^{{2n-2}}\prod _{{i<j}}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}

, unde sunt toate rădăcinile polinomului (ținând cont de multiplicitățile) într-o anumită extensie a câmpului principal în care acestea există.

\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}

Cel mai des este folosit discriminantul trinomului pătrat , al cărui semn determină numărul de rădăcini reale.

Proprietăți

Discriminantul este zero dacă și numai dacă polinomul are rădăcini multiple.
Discriminantul este un polinom simetric în raport cu rădăcinile polinomului și, prin urmare, este un polinom în coeficienții săi; mai mult, coeficienții acestui polinom sunt numere întregi indiferent de extensia în care sunt luate rădăcinile.
$D(p)={\frac {(-1)^{{n(n-1)/2}}}{a_{n}}}R(p,p')$ , unde este rezultanta polinomului și derivata acestuia . $R(p,p')$ $p(x)$ $p'(x)$

Exemple

Toate exemplele următoare se referă la polinoame cu coeficienți reali și un coeficient de conducere diferit de zero.

Polinom de gradul II

Discriminantul unui trinom pătrat este $ax^{2}+bx+c$ $D=b^{2}-4ac.$

Când trinomul va avea două rădăcini reale: $D>0$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {D}}} }.$
Când - o rădăcină a multiplicității 2 (cu alte cuvinte, două rădăcini identice): $D=0$ $x=-{\frac {b}{2a}}.$
Când nu există rădăcini reale, totuși, există două rădăcini conjugate complexe exprimate prin aceeași formulă ca și pentru discriminantul pozitiv. De asemenea, poate fi rescris astfel încât să nu conțină o expresie radicală negativă, după cum urmează: $D<0$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}} {2a}}.$ $x_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {D}}))={\frac {2c}{-b\pm i{\sqrt {|D| }}}}.$

Polinom de gradul III

Discriminantul unui polinom cubic este $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd=27\left(6a{\frac {b}{3}}{\frac {c}{3}}d-4\left(a\left({\frac {c}{3}}\right)^{3}+\left({\ frac {b}{3}}\right)^{3}d\right)+3\left({\frac {b}{3}}\right)^{2}\left({\frac {c} {3}}\dreapta)^{2}-a^{2}d^{2}\dreapta).

În special, discriminantul unui polinom cubic (ale cărui rădăcini sunt calculate folosind formula lui Cardano ) este . $x^{3}+px+q$ $-4p^{3}-27q^{2}=-108\left(\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q {2}}\dreapta)^{2}\dreapta).$

Pentru un polinom cubic are trei rădăcini reale distincte. $D>0$
Pentru , are o rădăcină multiplă (fie o rădăcină a multiplicității 2 și o rădăcină a multiplicității 1, ambele fiind reale; fie o singură rădăcină reală a multiplicității 3). $D=0$
Pentru un polinom cubic are o rădăcină reală și două rădăcini complexe (care sunt conjugate complexe). $D<0$

Polinom de gradul IV

Discriminantul unui polinom de gradul al patrulea este egal cu $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$

{\begin{aligned}D&=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a ^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\ +\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e- 80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\ -\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{ 3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}.\end{aligned}}

Pentru un polinom, discriminantul are forma $x^{4}+qx^{2}+rx+s$

{\begin{aligned}D&=256s^{3}-128q^{2}s^{2}+144qr^{2}s-27r^{4}+16q^{4}s-4q^ {3}r^{2}=\\&=256\left(s^{3}-18\left({\frac {q}{6}}\right)^{2}s^{2}- 27\left({\frac {r}{4}}\right)^{4}-54\left({\frac {q}{6}}\right)^{3}r^{2}+54 \left({\frac {q}{6}}\right)\left({\frac {r}{4}}\right)^{2}s+81\left({\frac {q}{6 }}\dreapta)^{4}s\dreapta).\end{aliniat}}

iar egalitatea definește o suprafață în spațiu numită coadă rândunică . $D=0$ $(q,r,s)$

La , polinomul are două rădăcini reale diferite și două rădăcini complexe. $D<0$
Când polinomul are patru rădăcini diferite: fie toate reale, fie toate complexe. $D>0$

Și anume, pentru polinomul [2] :

x^{4}+qx^{2}+rx+s

dacă , atunci toate rădăcinile sunt complexe; $q\geqslant 0$
dacă și , atunci toate rădăcinile sunt complexe; $q<0$ $s>{\frac {q^{2}}{4}}$
dacă și , atunci toate rădăcinile sunt reale. $q<0$ $s<{\frac {q^{2}}{4}}$

Pentru , polinomul are cel puțin o rădăcină multiplă (reala sau complexă). În al doilea caz, polinomul are două rădăcini multiple complexe conjugate și, prin urmare, se descompune într-un produs de două polinoame de gradul doi, ireductibile peste câmpul numerelor reale. $D=0$

Mai precis [2] :

dacă și , atunci o rădăcină reală a multiplicității 2 și două rădăcini complexe; $q<0$ $s>{\frac {q^{2}}{4}}$
dacă și , atunci trei rădăcini reale diferite, dintre care una are multiplicitatea 2; $q<0$ $-{\frac {q^{2}}{12}}<s<{\frac {q^{2}}{4}}$
dacă și , atunci două rădăcini reale, fiecare dintre ele având multiplicitatea 2; $q<0$ $s={\frac {q^{2}}{4}}$
dacă și , atunci două rădăcini reale, dintre care una are multiplicitatea 3; $q<0$ $s=-{\frac {q^{2}}{12}}$
dacă , și , atunci o rădăcină reală a multiplicității 2 și două rădăcini complexe; $q>0$ $s>0$ $r\neq 0$
dacă , și , atunci o pereche de rădăcini complexe conjugate de multiplicitate 2; $q>0$ $s={\frac {q^{2}}{4}}$ $r=0$
dacă și , atunci o rădăcină reală a multiplicității 2 și două rădăcini complexe; $q>0$ $s=0$
dacă și , atunci o rădăcină reală a multiplicității 2 și două rădăcini complexe; $q=0$ $s>0$
dacă și , atunci o rădăcină reală a multiplicității 4. $q=0$ $s=0$

Istorie

Termenul este derivat din lat. discrimino - „dezasambla”, „distinge”. Conceptul de „discriminant în formă de pătrat” a fost folosit în lucrările lui Gauss , Dedekind , Kronecker , Weber și alții. Termenul a fost introdus de Sylvester [3] .

Vezi și

Rezultat

Literatură

Polinoame Prasolov VV . — M .: MTsNMO , 1999, 2001, 2003.

Note

↑ Discriminatorul unui polinom // Carte de referință matematică.
↑ 1 2 Rees, EL Discuție grafică despre rădăcinile unei ecuații quartice // The American Mathematical Monthly : journal. - 1922. - Vol. 29 , nr. 2 . - P. 51-55 . - doi : 10.2307/2972804 .
↑ Matrice și determinanți - Numericana . Consultat la 9 mai 2010. Arhivat din original la 1 iunie 2010. (nedefinit)

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare catalană Britannica (online)