Teoremele lui Shannon pentru un canal zgomotos

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 19 noiembrie 2019; verificările necesită 5 modificări .

Teoremele lui Shannon pentru un canal zgomotos ( teoremele lui Shannon pentru transmisia pe un canal zgomotos ) conectează capacitatea unui canal de transmitere a informațiilor și existența unui cod care poate fi folosit pentru a transmite informații pe un canal cu o eroare care tinde spre zero (ca bloc lungimea crește).

Enunțul teoremelor

Lăsa

$K$ este lungimea blocului generat de sursă
$L$ - lungimea blocului care va fi transmis pe canal (după codificare)
$R$ — rata mesajelor (performanța sursei)

R=K/L

$C$ - capacitatea canalului , definită ca informație reciprocă maximă la intrarea și ieșirea canalului ( și - reprezentarea intrării și ieșirii canalului ca variabile aleatoare ) $X$ $Y$

C=\max({I(X;Y)})

$P_{er)$ este probabilitatea medie a unei erori de decodare a blocurilor
$P_{er,max)$ este probabilitatea maximă a unei erori de decodare a blocurilor

{P}_{er,max}=\max \limits _{1\leqslant s\leqslant M}P_{er)

Teorema directă

Dacă rata de mesaje este mai mică decât lățimea de bandă a canalului de comunicație ( ), atunci există coduri și metode de decodare astfel încât probabilitățile de eroare de decodare medie și maxime tind la zero atunci când lungimea blocului tinde spre infinit, adică atunci când . $R<C$ $\left\{({\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},...,{\vec {x_{M))))\right\}$ $P_{er}\la 0$ $P_{er,\max }\la 0$ $L\la \infty$

Cu alte cuvinte: pentru un canal zgomotos, este întotdeauna posibil să găsiți un sistem de codare în care mesajele să fie transmise cu un grad de fidelitate arbitrar ridicat , cu excepția cazului în care performanța sursei depășește capacitatea canalului .

Teorema inversă

Dacă rata de transmisie este mai mare decât lățimea de bandă, adică , atunci nu există astfel de metode de transmisie în care probabilitatea de eroare tinde spre zero ( ) cu o creștere a lungimii blocului transmis, ( ). $R>C$ $P_{er}\la 0$ $L\la \infty$

Limita lui Shannon

Limita Shannon este rata maximă de transmisie pentru care este posibil (de a alege un design de cod de semnal) pentru a corecta erorile dintr-un canal cu un raport semnal-zgomot dat . Pentru un canal cu zgomot alb Gaussian aditiv , debitul conform formulei Shannon este:

C=\Delta F\cdot \log _{2}\left(1+{\frac {P_{s}}{P_{n}}}\right)=\Delta F\cdot \log _{ 2}\left(1+{\frac {P_{s}}{N_{0}F}}\right)

Unde

$\Delta F$ — lățimea de bandă a canalului, Hz ,
$P_{s)$ - puterea semnalului, W ,
$P_{n}$ - puterea zgomotului, W,
$N_{0}$ este densitatea spectrală a puterii zgomotului , W/Hz.

Capacitate maximă de canal cu AWGN și spectru nelimitat:

C_{\infty}=\lim _{F\to \infty }C=\lim _{F\to \infty }F\cdot \log _{2}e\cdot \ln \left(1+ {\frac {P_{s}}{N_{0}F}}\right)=\lim _{F\la \infty }F\cdot {\frac {P_{s}}{N_{0}F} }\log _{2}e={\frac {P_{s}}{N_{0}}}\log _{2}e\aprox {\frac {P_{s}}{N_{0}}} \cdot 1.443

bps

În prezent ( 2007 ), cea mai apropiată aproximare a acestei limite este dată de un cod LDPC cu o lungime de bloc aproximativă de 10 milioane de biți .

De asemenea, pe de altă parte, limita Shannon poate fi înțeleasă ca raportul minim semnal-zgomot pentru care transmisia și decodificarea fără erori a unui bloc la o rată dată este teoretic posibilă. De exemplu, pentru un tip de modulație QPSK și o rată de biți de 1 (bps)/simbol, raportul minim semnal-zgomot este de 0,25 dB.

Literatură

Gabidulin E. M. , Pilipchuk N. I. Prelegeri despre teoria informației - Institutul de Fizică și Tehnologie din Moscova , 2007. - 214 p. — ISBN 978-5-7417-0197-3
Vargauzin, V.A., Tsikin, I.A. Metode de îmbunătățire a eficienței energetice și spectrale a comunicațiilor radio digitale - Sankt Petersburg: BHV-Petersburg, 2013 - 352 p. - ISBN 978-5-9775-0878-0