Testul Wald

Testul Wald este un test statistic utilizat pentru a testa constrângerile asupra parametrilor modelelor statistice estimate din datele eșantionului . Este unul dintre cele trei teste de bază de constrângere împreună cu testul raportului de probabilitate și testul multiplicatorului Lagrange . Testul este asimptotic, adică este necesară o dimensiune a eșantionului suficient de mare pentru fiabilitatea concluziilor.

Esența și procedura testului

Să existe un model econometric cu vector parametru . Este necesar să se testeze ipoteza folosind date eșantion , unde este setul (vectorul) unor funcții parametri. Ideea testului este că, dacă ipoteza nulă este adevărată, atunci vectorul eșantionului trebuie să fie aproape de zero într-un anumit sens. Se presupune că estimările parametrilor sunt cel puțin consistente și asimptotic normale (cum ar fi, de exemplu, estimările metodei probabilității maxime ), i.e. $b$ $H_{0}:~g(b)=0$ $g$ $g({\hat {b)))$

${\sqrt {n}}({\hat {b}}-b){\xrightarrow {n\rightarrow \infty }}N(0,V)$

Prin urmare, pe baza teoremelor limită, avem:

${\sqrt {n}}(g({\hat {b}})-g(b)){\xrightarrow {n\rightarrow \infty }}N(0,G(b)VG(b)^{T })$

unde este jacobianul (matricea primelor derivate) a vectorului în punctul . $G(b)={\frac {\partial g(b)}{\partial b))$ $g(b)$ $b$

Apoi

$(g({\hat {b)))-g(b))^{T}(G(b)V_{{{\hat b))}G^{T}(b))^{{-1 }}(g({\hat {b}})-g(b)){\xrightarrow {n\rightarrow \infty }}\chi ^{2}(q)~,~~V_{{{\hat b }}}=V/n$

Dacă ipoteza nulă ( ) este îndeplinită, atunci avem $g(b)=0$

$W=g({\hat {b}})^{T}(G(b)V_{{{\hat b}}}G^{T}(b))^{{-1}}g({ \hat {b))){\xrightarrow[ {H_{0}}]{n\rightarrow \infty }}\chi ^{2}(q)~,~~V_{({\hat b}}}= V/n$

Aceasta este statistica Wald . Deoarece matricea de covarianță este , în general, necunoscută în practică, se utilizează în schimb o anumită estimare a acesteia. De asemenea, în loc de valorile adevărate necunoscute ale coeficienților , se folosesc estimările acestora . Prin urmare, în practică, obținem o valoare aproximativă , deci testul Wald este asimptotic , adică este nevoie de un eșantion mare pentru concluzii corecte. $V$ $b$ ${\hat b}$ $W$

Dacă această statistică este mai mare decât valoarea critică la un anumit nivel de semnificație , atunci ipoteza constrângerii este respinsă în favoarea unui model neconstrâns („modelul lung”). În caz contrar, pot apărea restricții și este mai bine să construiți un model cu restricții, numit „model scurt”. $\chi _{{\alpha }}^{2}(q)$ $\alfa$

Trebuie remarcat faptul că testul Wald este sensibil la modul în care sunt formulate constrângerile neliniare. De exemplu, o constrângere simplă asupra egalității a doi coeficienți poate fi formulată ca egalitatea raportului lor la unu. Atunci rezultatele testului pot fi teoretic diferite, în ciuda faptului că ipoteza este aceeași.

Cazuri speciale

Dacă funcțiile sunt liniare, adică se testează ipoteza de tipul următor , unde este o matrice de constrângere, este un vector, atunci matricea în acest caz este o matrice fixă . Dacă vorbim despre un model clasic de regresie liniară, atunci matricea de covarianță a estimărilor coeficienților este . Deoarece varianța erorii este necunoscută, se utilizează fie estimarea sa consecventă , fie estimarea nepărtinitoare . Prin urmare, statistica Wald are apoi forma: $g$ $H_{0}:~Ab=a$ $A$ $A$ $G(b)$ $A$ $V_{{{\hat {b}}}}=\sigma ^{2}(X^{T}X)^{{-1}}$ $\sigma ^{2}$ ${\hat {\sigma }}^{2}=ESS/n$ $s^{2}=ESS/(nk)$

$W=(A{\hat {b}}-a)^{T}(A(X^{T}X)^{{-1}}A^{T})^{{-1}}(A {\hat {b}}-a)/s^{2}$

Într-un caz particular, când matricea de constrângeri este unică (adică se verifică egalitatea coeficienților cu unele valori), atunci formula este simplificată:

$W=({\hat {b}}-a)^{T}(X^{T}X)({\hat {b}}-a)/s^{2}$

Dacă este considerată o singură constrângere liniară , atunci statistica Wald va fi egală cu $c^{T}b=a$

$W=(c^{T}ba)^{2}/(s^{2}c^{T}(X^{T}X)^{{-1}}c)$

În acest caz, statistica Wald se dovedește a fi egală cu pătratul statisticii. $t$

Se poate demonstra că statistica Wald pentru modelul liniar clasic este exprimată în termeni de sumele reziduurilor pătrate ale modelelor lungi și scurte, după cum urmează

$W={\frac {ESS_{S}-ESS_{L}}{ESS_{L}/n}}$ ,

unde indicele se referă la modelul lung (lung), iar la cel scurt (scurt). Dacă se utilizează o estimare imparțială a varianței erorii, atunci este necesar să se folosească în formulă în loc de . $L$ $S$ $n$ $(nk)$

În special, pentru a testa semnificația regresiei în ansamblu , prin urmare, obținem următoarea formulă pentru statistica Wald $ESS_{S}=TSS$

$W={\frac {TSS-ESS}{ESS/n}}=n{\frac {1-ESS/TSS}{ESS/TSS}}={\frac {nR^{2}}{1-R^ {2}}}$

unde este coeficientul de determinare . $R^2$

Relația cu alte teste

Se dovedește că testul Wald (W), testul raportului de probabilitate (LR) și testul multiplicator Lagrange (LM) sunt teste echivalente asimptotic ( ). Cu toate acestea, pentru eșantioanele finite, valorile statisticilor nu se potrivesc. Pentru constrângeri liniare, inegalitatea este demonstrată . Astfel, testul Wald va respinge mai des decât alte teste ipoteza nulă despre restricții. În cazul constrângerilor neliniare, prima parte a inegalității este satisfăcută, în timp ce a doua parte nu este în general. $LM=LR=W$ $LM\leqslant LR\leqslant W$

În loc de testul Wald, puteți utiliza testul F , ale cărui statistici sunt calculate prin formula:

$F={\frac {nk}{q}}W/n$

sau chiar mai simplu , dacă în calculul statisticii Wald a fost utilizată o estimare imparțială a varianței. Această statistică are în general distribuția asimptotică Fisher . În cazul unei distribuții normale a datelor, atunci pe eșantioane finite. $F=W/q$ $F(q,nk)$

Literatură

Magnus Ya. R., Katyshev P. K., Peresetsky A. A. Econometrie. - M . : Delo, 2004. - 576 p.
William H. Greene. Analiza econometrică . - New York: Pearson Education, Inc., 2003. - 1026 p.