Testul Dickey-Fuller

Testul Dickey-Fuller (testul DF, testul Dickey-Fuller) este o tehnică care este utilizată în statistica aplicată și econometrie pentru a analiza serii de timp pentru a testa staționaritatea. Este unul dintre testele pentru rădăcinile unitare ( Testul rădăcinii unitare ). A fost propusă în 1979 de David Dickey și Wayne Fuller [1] .

Pentru contribuția sa la studiul proceselor cointegrate folosind testul Dickey-Fuller pentru staționaritate, în 2003 Clive Granger a primit Premiul Nobel pentru Economie . [2]

Conceptul de rădăcină unitară

Seria temporală are o rădăcină unitară sau ordinea de integrare este aceeași dacă primele sale diferențe formează o serie staționară. Această condiție este scrisă ca și cum prima serie de diferențe ar fi staționară . $y_{t}\thicksim I(1)$ $\triunghi y_{t}=y_{t}-y_{{t-1}}$ $\triunghi y_{t}\thicksim I(0)$

Acest test verifică valoarea coeficientului din ecuația autoregresivă de ordinul întâi AR(1) $A$

y_{t}=a\cdot y_{{t-1}}+\varepsilon _{t},

unde este seria temporală și este eroarea. $YT}$ $\varepsilon$

Dacă , atunci procesul are o rădăcină unitară, în acest caz seria nu este staționară, este o serie temporală integrată de ordinul întâi - . Dacă , atunci seria este staționară - . $a=1$ $YT}$ $I (1)$ $|a|<1$ $eu (0)$

Pentru procesele financiare și economice, valoarea nu este tipică, deoarece în acest caz procesul este „exploziv”. Apariția unor astfel de procese este puțin probabilă, deoarece mediul financiar și economic este mai degrabă inerțial, ceea ce nu permite acceptarea unor valori infinit de mari pentru perioade scurte de timp. $|a|>1$

Esența testului DF

Ecuația autoregresivă de mai sus AR(1) poate fi rescrisă ca: [3]

\triunghi y_{t}=b\cdot y_{{t-1}}+\varepsilon _{t},

unde , și este operatorul de diferență de ordinul întâi . $b=a-1$ $\triunghi$ $\triunghi y_{t}=y_{t}-y_{{t-1}}$

Prin urmare, testarea ipotezei despre o rădăcină unitară în această reprezentare înseamnă testarea ipotezei nule conform căreia coeficientul este egal cu zero . Deoarece este exclus cazul proceselor „explozive”, testul este unilateral, adică ipoteza alternativă este ipoteza că coeficientul este mai mic decât zero. Statistica de test (DF-statistic) este o statistică comună pentru testarea semnificației coeficienților de regresie liniară . Cu toate acestea, distribuția acestei statistici diferă de distribuția clasică a -statisticilor ( distribuția t- a lui Student sau distribuția normală asimptotică). Distribuția statisticii DF este exprimată în termenii procesului Wiener și se numește distribuție Dickey-Fuller. $b$ $b$ $t$ $t$

Există trei versiuni ale testului (regresii de testare):

Fără constantă și tendință

\triunghi y_{t}=b\cdot y_{{t-1}}+\varepsilon _{t}.

Cu o tendință constantă, dar fără:

\triunghi y_{t}=b_{0}+b\cdot y_{{t-1}}+\varepsilon _{t}.

Cu tendință constantă și liniară:

\triunghi y_{t}=b_{0}+b_{1}\cdot t+b\cdot y_{{t-1}}+\varepsilon _{t}.

Pentru fiecare dintre cele trei regresii de testare, există valori critice ale DF - statistici, care sunt preluate dintr-un tabel special Dickey-Fuller (McKinnon). Dacă valoarea statisticii se află la stânga valorii critice (valorile critice sunt negative) la un anumit nivel de semnificație, atunci ipoteza nulă despre o rădăcină unitară este respinsă și procesul este considerat staționar (în sensul acestui Test). În caz contrar, ipoteza nu este respinsă și procesul poate conține rădăcini unitare, adică să fie o serie temporală nestaționară (integrată).

Valorile critice ale statisticii Dickey-Fuller

Valorile critice ale statisticilor Dickey-Fuller la un nivel de semnificație de 1% .

Marime de mostra	Model AR	Model AR cu o constantă	Model AR cu constantă și tendință
25	-2,66	-3,75	-4,38
cincizeci	-2,62	-3,58	-4,15
100	-2,60	-3,51	-4.04
$\infty$	-2,58	-3,43	-3,96

Pentru comparație, valoarea critică a distribuției Student pentru toate modelele pe eșantioane de dimensiuni mari este 2,33, pe eșantioane mici - 2,5. McKinnon a derivat și formule aproximative pentru estimarea valorilor critice.

Augmented Dickey-Fuller Test (ADF)

Dacă la regresiile testului se adaugă întârzieri ale primelor diferențe ale seriei de timp, atunci distribuția statisticilor DF (și, prin urmare, a valorilor critice) nu se va modifica. Un astfel de test se numește testul Dickey-Fuller extins (Augmented DF, ADF).

Necesitatea includerii decalajelor primelor diferente se datoreaza faptului ca procesul poate fi o autoregresie nu a primei diferente, ci de ordin superior. Luați în considerare exemplul modelului AR(2):

y_{t}=a_{1}y_{{t-1}}+a_{2}y_{{t-2}}+\varepsilon _{t}.

Acest model poate fi reprezentat ca:

\triunghi y_{t}=(a_{1}+a_{2}-1)y_{{t-1}}-a_{2}\triunghi y_{{t-1}}+\varepsilon _{t} .

Dacă seria temporală are o rădăcină unitară, atunci primele diferențe sunt prin definiție staționare. Și deoarece , prin presupunere, este non-staționară, atunci dacă coeficientul pentru acesta nu este egal cu zero, ecuația este inconsistentă. Astfel, din ipoteza integrării de ordinul întâi pentru o astfel de serie, rezultă că . Astfel, pentru a verifica prezența rădăcinilor unitare în acest model, ar trebui efectuat un test DF standard pentru coeficientul de la , iar întârzierea primei diferențe a variabilei dependente ar trebui adăugată la regresia testului. $y_{{t-1}}$ $a_{1}+a_{2}-1=0$ $y_{{t-1}}$

În plus față de motivul indicat, există, de asemenea, un alt model - erorile pot să nu fie zgomot alb , dar să fie un proces ARMA staționar , așa că ar trebui să verificați pentru o rădăcină unității pentru mai multe întârzieri. Cu toate acestea, trebuie luat în considerare faptul că o creștere a numărului de întârzieri duce la o scădere a puterii testului. De obicei limitat la trei sau patru întârzieri.

Notă

Testul Dickey-Fuller, ca multe alte teste, verifică prezența unei singure rădăcini unitare. Cu toate acestea, un proces poate avea, teoretic, mai multe rădăcini unitare. În acest caz, testul poate fi incorect. Deoarece se presupune, de obicei, că mai mult de trei rădăcini unitare pot apărea cu greu în seriile cronologice economice reale, este teoretic justificat să se testeze în primul rând cele doua diferențe ale seriei. Dacă ipoteza rădăcinii unitare pentru această serie este respinsă, atunci rădăcina unitară din primele diferențe este testată. Dacă ipoteza nu este respinsă în această etapă, atunci seria originală are două rădăcini de unitate. Dacă este respinsă, atunci rădăcina unității din seria temporală în sine este verificată, așa cum este descris mai sus. În practică, totul se face adesea în ordine inversă, ceea ce nu este în întregime corect. Concluziile corecte necesită rezultate ale testelor pentru a doua și prima diferență, împreună cu seria temporală în sine.

Vezi și

Testul Philips-Parron
Testul Laybourne

Note

^ Dickey DA și Fuller WA Distribuția estimatorilor pentru seriile de timp autoregressive cu o rădăcină unitară // Jurnalul Asociației Americane de Statistică . - 74. - 1979. - str. 427--431.
↑ Premiul Nobel pentru economie 2003 . Consultat la 20 septembrie 2010. Arhivat din original la 19 octombrie 2010. (nedefinit)
↑ Materiale educaționale . Consultat la 20 septembrie 2010. Arhivat din original pe 27 mai 2016. (nedefinit)

Literatură

Magnus Ya. R., Katyshev P. K., Peresetsky A. A. Econometrie. Curs inițial. - M . : Delo, 2007. - 504 p. - ISBN 978-5-7749-0473-0 . .