Model autoregresiv - medie mobilă

Modelul autoregresiv al mediei mobile (ARMA ) este unul dintre modelele matematice utilizate pentru a analiza și prezice serii de timp staționare în statistici . Modelul ARMA generalizează două modele de serie de timp mai simple - modelul autoregresiv (AR) și modelul cu medie mobilă (MA).

Definiție

Modelul ARMA( p , q ), unde p și q sunt numere întregi care specifică ordinea modelului, este următorul proces de generare a serii de timp : $\{X_{t}\}$

X_{t}=c+\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\alpha _{i}X_{ti}+\sum _{i=1}^{q }\beta _{i}\varepsilon _{ti}

unde este o constantă, este zgomotul alb , adică o succesiune de variabile aleatoare independente și distribuite identic (de obicei normale ), cu medie zero și și sunt numere reale , coeficienți autoregresivi și, respectiv, coeficienți medii mobile. $c$ $\{\varepsilon _{t}\}$ $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{p}$ $\beta _{1},\ldots ,\beta _{q}$

Un astfel de model poate fi interpretat ca un model de regresie multiplă liniară , în care variabilele explicative sunt valorile trecute ale variabilei dependente în sine, iar mediile mobile ale elementelor de zgomot alb sunt utilizate ca reziduu de regresie . Procesele ARMA au o structură mai complexă în comparație cu procesele similare AR sau MA în forma lor pură, dar procesele ARMA sunt caracterizate de mai puțini parametri, ceea ce este unul dintre avantajele lor [1] .

Reprezentarea operatorului. Staționaritatea și rădăcinile unitare

Dacă introducem operatorul de întârziere în considerare , atunci modelul ARMA poate fi scris după cum urmează $L:~Lx_{t}=x_{{t-1}}$

X_{t}=c+(\sum _{{i=1}}^{p}\alpha _{i}L^{i})X_{t}+(1+\sum _{{i=1} }^{q}\beta _{i}L^{i})\varepsilon _{t}

sau, mutând partea autoregresivă în partea stângă a egalității:

(1-\sum _{{i=1}}^{p}\alpha _{i}L^{i})X_{t}=c+(1+\sum _{{i=1}}^{ q}\beta _{i}L^{i})\varepsilon _{t}

Introducând notația abreviată pentru polinoamele părților din stânga și din dreapta, putem scrie în sfârșit:

\alpha (L)X_{t}=c+\beta (L)\varepsilon _{t}

Pentru ca procesul să fie staționar, este necesar ca rădăcinile polinomului caracteristic al părții autoregresive să se afle în afara cercului unitar în plan complex (trebuie să fie strict mai mari decât unitatea în valoare absolută). Un proces ARMA staționar poate fi reprezentat ca un proces MA infinit: $\alpha (z)$

X_{t}=\alpha ^{{-1}}(L)c+\alpha ^{{-1}}(L)\beta (L)\varepsilon _{t}=c/a(1)+\ suma _{{i=0}}^{{\infty }}c_{i}\varepsilon _{{ti}}

De exemplu, procesul ARMA(1,0)=AR(1) poate fi reprezentat ca un proces MA de ordin infinit cu coeficienți de progresie geometrică descrescătoare :

X_{t}=c/(1-a)+\sum _{{i=0}}^{{\infty }}a^{i}\varepsilon _{{ti}}

Astfel, procesele ARMA pot fi considerate procese MA de ordin infinit cu anumite restricții asupra structurii coeficienților. Cu un număr mic de parametri, ei fac posibilă descrierea proceselor cu o structură destul de complexă. Toate procesele staționare pot fi aproximate în mod arbitrar printr-un model ARMA de un anumit ordin folosind un număr semnificativ mai mic de parametri decât numai atunci când se utilizează modele MA.

ARMA nestaționară (integrată)

În prezența rădăcinilor unitare ale polinomului autoregresiv, procesul este non-staționar. Rădăcinile mai mici de unu nu sunt luate în considerare în practică, deoarece acestea sunt procese de natură explozivă. În consecință, pentru a verifica staționaritatea seriilor de timp, unul dintre testele de bază este testele pentru rădăcinile unitare . Dacă testele confirmă prezența unei rădăcini de unitate, atunci diferențele din seria temporală inițială sunt analizate și se construiește un model ARMA pentru un proces staționar de diferențe de o anumită ordine (de obicei, primul ordin este suficient, uneori al doilea). Astfel de modele se numesc modele ARIMA (integrated ARMA) sau modele Box-Jenkins. Modelul ARIMA(p, d, q), unde d este ordinea integrării (ordinea diferențelor din seria temporală originală), p și q sunt ordinea părților AR și MA ale procesului ARMA de diferențe de ordinea a zecea, poate fi scrisă în următoarea formă de operator

\alpha (L)\vartriangle ^{d}X_{t}=c+\beta (L)\varepsilon _{t}~,~~~\vartriangle =1-L

Procesul ARIMA(p, d, q) este echivalent cu procesul ARMA(p+d, q) cu d rădăcini unitare.

Construirea modelului

Pentru a construi un model ARMA bazat pe o serie de observații, este necesar să se determine ordinea modelului (numerele p și q ), și apoi coeficienții înșiși. Pentru a determina ordinea modelului, se poate utiliza studiul unor caracteristici ale seriei de timp precum funcția de autocorelare și funcția de autocorelare parțială . Pentru determinarea coeficienților sunt utilizate metode precum metoda celor mai mici pătrate și metoda probabilității maxime .

Modele ARMAX

Unii factori x exogeni pot fi adăugați modelelor ARMA clasice. Mai mult, în cazul general, modelul implică nu numai valorile curente ale acestor factori, ci și valorile de decalaj. Astfel de modele sunt denumite în mod obișnuit ARMAX(p, q, k), unde k este numărul de întârzieri ale factorilor exogeni. Sub formă de operator, astfel de modele pot fi scrise după cum urmează (un factor exogen)

$a(L)y_{t}=c+b(L)\varepsilon _{t}+d(L)x_{t}$

unde a(L), b(L), d(L) sunt polinoame de ordin p, q, k, respectiv, în operatorul lag.

Astfel de modele pot fi interpretate diferit ca modele ADL(p, k) cu erori aleatoare MA(q).

Vezi și

Note

↑ Dubrova T.A. . - Moscova: UNITY-DANA, 2003. - ISBN 5-238-00497-4 .