Sectiunea torica

O secțiune torica este o secțiune a unui tor printr-un plan arbitrar . Cazuri particulare de secțiuni de torus, curbele Perseus , au fost studiate în antichitate. Cazul general a fost studiat de Jean Darboux în secolul al XIX-lea. [unu]

Formula generală

O secțiune torica este o curbă plană de ordinul al patrulea [1] a formei

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+ax^{2}+by^{2}+cx+dy+e=0.

Cei cinci parametri ai ecuației sunt definiți în termeni ai doi parametri ai torusului — razele cercurilor mici și mari r, R , [2] și în termeni a trei parametri care definesc planul de tăiere. [3] Dacă planul nu intersectează torul, atunci ecuația nu are soluții reale.

Exemplu

Secțiunea transversală a unui tor cu parametrii planului bitangent este dată de formula $R,r,(r<R)$

$(x^{2}+y^{2})^{2}-2(R^{2}+r^{2})x^{2}-2(R^{2}-r ^{2})y^{2}+(R^{2}-r^{2})^{2}=0.$

Formula poate fi descompusă într-un produs de formule pentru două cercuri.

Secțiuni perpendiculare

Secțiunile unui tor pe un plan paralel cu axa sa (perpendiculară pe planul de rotație al cercului) se numesc secțiuni spiralate sau curbe Perseus. Au fost explorate de geometrul grec antic Perseus în jurul anului 150 î.Hr. e. [4] Secțiunea unui tor de un plan perpendicular pe axa sa este un inel .

Circumferințele lui Villarceau

Cea mai interesantă secțiune oblică a torusului este secțiunea planului bicangent - cercul lui Villarceau . Într-un mod neevident, această secțiune reprezintă două cercuri care se intersectează. Punctele de intersecție ale acestora coincid cu punctele de contact dintre planul secant și tor. [5]

Note

↑ 1 2 Sym, Antoni (2009), Cea mai mare dragoste a lui Darboux , Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical vol. 42 (40): 404001 , DOI 10.1088/1751-8113/42/40/404001 .
↑ Torul poate fi plasat în orice mod convenabil în centrul coordonatelor.
↑ Un parametru (rotația secțiunii pe plan) poate fi eliminat datorită simetriei centrale a torusului.
↑ Brieskorn, Egbert & Knörrer, Horst (1986), Originea și generarea curbelor , Curbe algebrice plane , Basel: Birkhäuser Verlag, p. 2–65, ISBN 3-7643-1769-8 , DOI 10.1007/978-3-0348-5097-1 .
↑ Schoenberg, IJ (1985), A direct approach to the Villarceau circles of a torus, Simon Stevin T. 59 (4): 365–372 .