Geometrie tropicală

Geometria tropicală este un domeniu al matematicii care a apărut în anii 2000 , originar inițial în informatică și este asociat cu geometria algebrică și simplectică . Obiectele studiate în ea sunt limita imaginilor amibe ale soiurilor algebrice obișnuite sub degenerarea acestora din urmă. [unu]

Denumirea „tropical” onorează școala braziliană [1] - opera de pionierat a matematicianului brazilian de origine maghiară Imre Shimon [2] [3] [4] , care a studiat semiringul tropical în legătură cu informatica și optimizarea teorie [5] .

Indiferent de școala braziliană, termenul „tropical” a fost aplicat aceleiași ramuri a matematicii încă de la mijlocul anilor 1980 de către V.P. Maslov . Potrivit acestuia, „analiza idempotent (tropicală)” prin intermediul termodinamicii a descris din punct de vedere economic colonizarea europeană a Africii tropicale . Termenul „idempotent” în comunitatea științifică nu a prins rădăcini, iar termenul „tropical” în raport cu noua matematică, ca mai armonioasă și mai încăpătoare, s-a dovedit a fi foarte popular, deși diferite școli i-au pus înțelesuri diferite [6]. ] [7] .

Concepte de bază

Semiring tropical (sau semicamp tropical ) - un set de numere reale , echipat cu operații de adunare tropicală și înmulțire tropicală $\mathbb {R}$ $\oplus$ $\odot$

x\oplus y=\max(x,y),\quad x\odot y=x+y.

Un polinom tropical de grad pe plan este o funcție afină pe bucăți a formei $d$

f(x,y)=\bigoplus _{{i+j\leq d}}\,a_{{i,j}}\odot x^{{\odot i}}\odot y^{{\odot j }}=\max _{{i+j\leq d}}(ix+jy+a_{{i,j}}).

În mod similar, un polinom tropical în cazul general este o funcție afină pe bucăți a formei

f(x_{1},\dots ,x_{n})=\bigoplus _{{|J|\leq d}}\,a_{{J}}\odot x^{{\odot J}}=\ max _{{|J|\leq d}}\,(a_{{J}}+\sum _{i}J_{i}x_{i}).

O curbă tropicală pe un plan corespunzător unui polinom tropical dat de grad este un grafic pe un plan ale cărui vârfuri și muchii (finite și infinite) formează mulțimea punctelor de nenetezime ale funcției . Muchiile acestui grafic sunt considerate a fi echipate cu multiplicități: muchia care separă regiunile de liniaritate corespunzătoare mulțimii de grade și este dotată cu o multiplicitate egală cu cel mai mare divizor comun al diferențelor și . $f$ $d$ $f$ $(i,j)$ $(i',j')$ $ii'$ $jj'$
În special, o linie dreaptă tropicală este o unire a trei raze care emană dintr-un anumit punct și sunt îndreptate în jos, stânga și dreapta sus la 45°. Liniile tropicale au proprietăți similare cu cele ale liniilor obișnuite: exact o linie tropicală trece prin oricare două puncte în poziție generală și două linii tropicale în poziție generală se intersectează într-un singur punct. $(x_{0},y_{0})$

Note

↑ 1 2 Itenberg, Mikhalkin, Shustin. Geometrie algebrică tropicală, 2009 , p. vii.
↑ Copie arhivată (link nu este disponibil) . Data accesului: 8 ianuarie 2012. Arhivat din original la 26 septembrie 2006. (nedefinit)
↑ Math.dvi . Preluat la 8 ianuarie 2012. Arhivat din original la 5 martie 2016. (nedefinit)
↑ http://theor.jinr.ru/~belyov/articles/Litvinov_dequantize.pdf (link inaccesibil)
↑ Sursa . Consultat la 8 ianuarie 2012. Arhivat din original pe 23 ianuarie 2012. (nedefinit)
↑ Sursa . Preluat la 10 iulie 2020. Arhivat din original la 13 iulie 2020. (nedefinit)
↑ Despre analiza tropicală | SpringerLink . Preluat la 10 iulie 2020. Arhivat din original la 10 iulie 2020. (nedefinit)

Literatură

Itenberg I., Mikhalkin G., Shustin E. Geometrie algebrică tropicală . - Basel: Springer , 2009. - viii + 104 p. — (seminarii Oberwolfach).

M. E. Kazaryan . Geometrie tropicală . - M. : MTSNMO, 2012. - 43 p. — (Școala de vară „Matematică modernă”). - 1000 de exemplare. - ISBN 978-5-94057-966-3 .