Fir de scurtare

Un flux de scurtare este un proces care modifică o curbă netedă pe un plan prin deplasarea punctelor sale perpendiculare pe curbă cu o viteză egală cu curbura acesteia .

Fluxul de scurtare este studiat în principal ca cel mai simplu exemplu de flux geometric , în special, vă permite să elaborați tehnica de lucru cu un flux Ricci și cu un flux de curbură medie .

Ecuația

O familie de curbe cu un parametru este o soluție la un flux de scurtare dacă, pentru orice valoare a parametrului , avem $\gamma _{t)$ $\tau$

{\frac {\partial \gamma _{t}(\tau )}{\partial t))=\kappa _{t}(\tau )\cdot n_{t}(\tau),

unde este curbura cu semnul curbei în punct și este vectorul normal unitar la curba în punctul . $\kappa _{t}(\tau )$ $\gamma _{t)$ $\gamma _{t}(\tau )$ $n_{t}(\tau )$ $\gamma _{t)$ $\gamma _{t}(\tau )$

Proprietăți

Dacă curba inițială este simplă și închisă, atunci rămâne așa sub acțiunea fluxului de scurtare.
Pentru o curbă închisă simplă , debitul de scurtare este definit pe intervalul maxim . $\gamma _{0}$ $\gamma _{t)$ $t\in [0,T)$
- La , curba se prăbușește până la un punct. $t\la T$ $\gamma _{t)$
Aria delimitată de curbă scade cu o rată constantă. ${\frac {dS}{dt}}=2\cdot \pi .$
- În special, momentul prăbușirii la un punct este complet determinat de aria delimitată de curba: . $T={\tfrac {S_{0}}{2\cdot \pi }}$
Dacă curba inițială nu este convexă, atunci curbura sa maximă absolută scade monoton până devine convexă.
Pentru o curbă convexă , raportul izoperimetric scade, iar înainte de a dispărea în punctul de singularitate, curba tinde spre un cerc. [unu]
Două curbe simple, netede, închise, care nu se intersectează, rămân neintersectate până când una dintre ele se prăbușește într-un punct.
Cercul este singura curbă simplă închisă care își păstrează forma în flux.
- Unele curbe care se intersectează automat , precum și curbele de lungime infinită, își păstrează forma.

Aplicații

Un flux de scurtare pe o sferă oferă una dintre dovezile problemei lui Arnold privind existența a cel puțin patru puncte de inflexiune pentru orice curbă netedă care taie o sferă în discuri de arie egală. [2]

Note

↑ Gage, ME (1984), „Scurtarea curbei face curbele convexe circulare”, Inventiones Mathematicae 76 (2): 357-364, doi:10.1007/BF01388602
↑ Angenent, Sigurd. „Puncte de inflexiune, puncte extatice și scurtarea curbei”. Sisteme hamiltoniene cu trei sau mai multe grade de libertate. Springer Olanda, 1999. 3-10.