Raportul izoperimetric

Raportul izoperimetric pentru o curbă simplă închisă în planul euclidian este egal cu raportul L 2 / A , unde L  este lungimea curbei și A  este aria acesteia. Raportul izoperimetric este adimensional și nu se modifică în cazul transformărilor de similaritate.

După cum rezultă din rezolvarea problemei izoperimetrice , valoarea raportului izoperimetric este minimă pentru un cerc și este egală cu 4π. Pentru orice altă curbă, raportul izoperimetric contează mai mult. [1] Prin urmare, raportul izoperimetric poate fi folosit ca o măsură a cât de „diferită” este o curbă de un cerc.

Fluxul de scurtare reduce raportul izoperimetric al oricărei curbe convexe netede în așa fel încât, dacă curba devine un punct în limită, atunci raportul izoperimetric tinde spre 4π. [2]

Pentru corpurile geometrice de dimensiune arbitrară d , raportul izoperimetric poate fi definit ca B d / V d - 1 , unde B este egal cu aria suprafeței corpului (adică măsura limitei sale ), V este egal la volumul corpului (adică măsura regiunii interne). [3] Alte mărimi înrudite sunt constanta Cheeger pentru o varietate Riemanniană și constanta Cheeger pentru grafice . [patru]

Note

  1. Berger, Marcel (2010), Geometry Revealed: A Jacob's Ladder to Modern Higher Geometry , Springer-Verlag, p. 295–296 , ISBN 9783540709978 , < https://books.google.com/books?id=pN0iAVavPR8C&pg=PA295 >  .
  2. Gage, ME (1984), Curve shortening makes convex curves circular , Inventiones Mathematicae T. 76 (2): 357–364 , DOI 10.1007/BF01388602  .
  3. Chow, Bennett & Knopf, Dan (2004), The Ricci Flow: An Introduction , vol. 110, Studii matematice și monografii, Societatea Americană de Matematică, p. 157, ISBN 9780821835159 , < https://books.google.com/books?id=BGU_msH91EoC&pg=PA157 >  .
  4. Grady, Leo J. & Polimeni, Jonathan (2010), Discrete Calculus: Applied Analysis on Graphs for Computational Science , Springer-Verlag, p. 275, ISBN 9781849962902 , < https://books.google.com/books?id=E3-OSVSPbU0C&pg=PA275 >  .