Funcțiile Bessel

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 octombrie 2021; verificările necesită 5 modificări .

Funcțiile Bessel în matematică sunt o familie de funcții care sunt soluții canonice ale ecuației diferențiale Bessel :

x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2} )y=0,

unde este un număr real arbitrar (complex în cazul general), numit ordine . $\alfa$

Cele mai frecvent utilizate funcții Bessel sunt funcțiile de ordine întregi .

Deși generează aceleași ecuații, de obicei este de acord că le corespund diferite funcții (acest lucru se face, de exemplu, astfel încât funcția Bessel să fie netedă în ). $\alfa$ $(-\alpha )$ $\alfa$

Funcțiile Bessel au fost definite pentru prima dată de matematicianul elvețian Daniel Bernoulli și au fost numite după Friedrich Bessel .

Aplicații

Ecuația Bessel apare în timp ce se găsesc soluții pentru ecuația Laplace și ecuația Helmholtz în coordonate cilindrice și sferice . Prin urmare, funcțiile Bessel sunt utilizate în rezolvarea multor probleme de propagare a undelor, potențiale statice etc., de exemplu:

unde electromagnetice într-un ghid de undă cilindric ;
conductivitate termică în obiecte cilindrice;
forme de undă ale unei membrane rotunde subțiri;
distribuția intensității luminii difractate de orificiul rotund;
viteza particulelor într-un cilindru plin cu lichid și care se rotește în jurul axei sale;
funcțiile de undă într-o cutie de potențial simetrică sferic.

Funcțiile Bessel sunt, de asemenea, utilizate în rezolvarea altor probleme, de exemplu, în procesarea semnalului.

Funcția Bessel este o generalizare a funcției sinus. Poate fi interpretat ca vibrația unei corzi cu grosime variabilă, tensiune variabilă (sau ambele condiții simultan); fluctuații într-un mediu cu proprietăți variabile; vibratii ale membranei discului etc.

Definiții

Deoarece ecuația de mai sus este o ecuație diferențială liniară de ordinul doi, trebuie să aibă două soluții liniar independente . Cu toate acestea, se aleg definiții diferite ale acestor decizii în funcție de circumstanțe. Mai jos sunt câteva dintre ele.

Funcții Bessel de primul fel

Funcțiile Bessel de primul fel, notate cu , sunt soluții care se termină într-un punct pentru un număr întreg sau nenegativ . Alegerea unei anumite funcții și normalizarea acesteia sunt determinate de proprietățile sale. Se pot defini aceste funcții folosind o expansiune a seriei Taylor aproape de zero (sau o serie de putere mai generală pentru non-întregi ): $J_{\alpha }(x)$ $x=0$ $\alfa$ $\alfa$

J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m)){m!\,\Gamma (m+\alpha + 1))){\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }.

Aici este funcția gamma Euler , o generalizare a factorilor la valori non-întregi. Graficul funcției Bessel este similar cu o undă sinusoidală ale cărei oscilații se diminuează proporțional , deși de fapt zerourile funcției nu sunt localizate periodic (totuși, distanța dintre două zerouri consecutive tinde spre ) [ 1] . $\Gamma(z)$ ${\frac {1}{{\sqrt {x))))$ $\pi$ $x\la \infty$

Mai jos sunt diagramele pentru : $J_{\alpha }(x)$ $\alpha =0,1,2$

Dacă nu este un număr întreg, funcțiile și sunt liniar independente și, prin urmare, sunt soluții ale ecuației. Dar dacă este un număr întreg, atunci următoarea relație este adevărată: $\alfa$ $J_{\alpha }(x)$ $J_{{-\alpha }}(x)$ $\alfa$

J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x).

Înseamnă că în acest caz funcțiile sunt dependente liniar. Apoi, a doua soluție a ecuației va fi funcția Bessel de al doilea fel (vezi mai jos).

Integrale Bessel

Se poate da o altă definiție a funcției Bessel pentru valori întregi folosind reprezentarea integrală: $\alfa$

J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\!\cos(\alpha \tau -x\sin \ tau )\,d\tau .

Această abordare a fost folosită de Bessel, care a folosit-o pentru a studia unele proprietăți ale funcțiilor. Este posibilă și o altă reprezentare integrală:

J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(\alpha \tau -x\sin \tau )}\,d\tau .

Pentru a găsi reprezentarea integrală a funcției Bessel în cazul celor neîntregi , este necesar să se țină cont de faptul că există o tăietură de-a lungul axei absciselor. Aceasta pentru că integrandul nu mai este -periodic. Astfel, conturul de integrare este împărțit în 3 secțiuni: o rază de la până la , unde , un cerc de rază unitară și o rază de la până la . După ce ați făcut transformări matematice simple, puteți obține următoarea reprezentare integrală: $\alfa$ $2\pi$ $-\infty$ $unu$ $\phi =-\pi$ $unu$ $+\infty$ $\phi =\pi$

J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(xsin(\phi )-\alpha \phi )}d\phi -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {e^{ -{\frac {1}{2}}x(r-{\frac {1}{r))))}{{}r^{\alpha +1}}}dr.

Este ușor de observat că pentru numerele întregi această expresie trece în formula anterioară. $\alfa$

Funcții Neumann

Funcțiile Neumann sunt soluții ale ecuației Bessel, infinite în punctul . $Y_{\alpha }(x)$ $x=0$

Această funcție este legată de următoarea relație: $J_{\alpha }(x)$

Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{{-\alpha }}(x)}{\sin(\alpha \pi )}},

unde, în cazul unui număr întreg , se ia limita pe , care se calculează, de exemplu, folosind regula L'Hospital . $\alfa$ $\alfa$

Funcțiile Neumann sunt numite și funcții Bessel de al doilea fel. Combinația liniară a funcțiilor Bessel de primul și al doilea fel este soluția completă a ecuației Bessel:

y(x)=C_{1}J_{\alpha }(x)+C_{2}Y_{\alpha }(x).

Mai jos este un grafic pentru : $Y_{\alpha }(x)$ $\alpha =0,1,2$

Într-un număr de cărți, funcțiile Neumann sunt notate cu . $N_{\alpha }(x)$

Funcții sferice Bessel

La rezolvarea ecuației Helmholtz în coordonate sferice prin metoda separării variabilelor, ecuația pentru partea radială are forma

x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n (n+1)\dreapta)y=0.

Două soluții liniar independente sunt numite funcții Bessel sferice j n și y n și sunt legate de funcțiile Bessel obișnuite J n și Neumann Y n folosind [2]

{\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x) ,\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^ {n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aliniat}}

y n este de asemenea notat n n sau η n ; unii autori se referă la aceste funcţii drept funcţii Neumann sferice .

Funcțiile sferice Bessel pot fi scrise și ca ( formula lui Rayleigh ) [3]

{\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\ dreapta)^{n}{\frac {\sin x}{x)),\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x }}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aliniat}}

Câteva primele funcții sferice Bessel [4] :

{\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x)),\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x} {x^{2))}-{\frac {\cos x}{x)),\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2))} -1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left( {\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15} {x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{aliniat}}

și Neumann [5] :

{\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x)),\\y_{1}(x )&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2))}-{\frac {\sin x}{x)),\\y_{2}( x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}- {\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x ^{3))}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}} -1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aliniat}}

Generarea funcțiilor

Funcții generatoare ale funcțiilor sferice Bessel [6] :

{\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0} ^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!)}}y_{n-1} ( z).\end{aliniat}}

Relații diferențiale

În următoarele formule , f n poate fi înlocuit cu j n , y n , h(1)
n, h(2)
n, unde h(1)
nși h(2)
n sunt funcții Hankel sferice, pentru n = 0, ±1, ±2, ... [7] :

{\begin{aliniat}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_ {n}(z)\dreapta)&=z^{n-m+1}f_{nm}(z),\\\left({\frac {1}{z)){\frac {d}{ dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-nm}f_{n+m }(z).\end{aliniat}}

Proprietăți

Ortogonalitate

Fie zerourile funcției Bessel . Apoi [1] : $\mu _{1},\mu _{2)$ $J_{\alpha }(x)$

\int _{0}^{1}{xJ_{\alpha }(\mu _{1}x)J_{\alpha }(\mu _{2}x)dx}=\left\{{ \begin{matrix}0&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}\neq \mu _{2}\\\\{\frac {1}{2}}(J'_{\alpha }(\mu _{1}))^{2}&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}=\mu _{2}\end{matrix}}\right.

Asimptotice

Formulele asimptotice sunt cunoscute pentru funcțiile Bessel de primul și al doilea fel . Cu argumente mici și nenegative , ele arată astfel [8] : $(0<x\ll {\sqrt {\alpha +1)))$ $\alfa$

J_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)))\left({\frac {x}{2))\right)^{\alpha },

Y_{\alpha }(x)\rightarrow \left\{{\begin{matrice}{\frac {2}{\pi }}\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&{\ mbox{;}}\quad \alpha =0\\\\-{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{ \alpha }&{\mbox{;}}\quad \alpha >0\end{matrix}}\right.

unde este constanta Euler - Mascheroni (0,5772 ...) și este funcția gamma Euler . Pentru argumente mari ( ), formulele arată astfel: $\gamma$ $\Gamma$ $x\gg |\alpha ^{2}-1/4|$

J_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x))}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi {2)}- {\frac {\pi }{4}}\dreapta),

Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt ({\frac {2}{\pi x))))\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2))-{ \frac {\pi }{4}}\dreapta).

Utilizarea termenului următor al expansiunii asimptotice face posibilă rafinarea semnificativă a rezultatului. Pentru o funcție Bessel de ordin zero, arată astfel:

J_{0}\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x))}\cos(x-{\frac {\pi }{4)))+{\frac {1}{ 4x{\sqrt {2\pi x))))\sin(x-{\frac {\pi }{4)))).

Seria hipergeometrică

Funcțiile Bessel pot fi exprimate în termeni de funcție hipergeometrică :

J_{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1))){}_{0}F_{1}(\alpha +1 ;-z^{2}/4).

Astfel, pentru numere întregi , funcția Bessel este analitică cu o singură valoare , iar pentru numere întregi, este analitică cu valori multiple . $\alfa$

Funcție de generare

Există o reprezentare pentru funcțiile Bessel de primul fel și de ordin întreg în termeni de coeficienți ai seriei Laurent a unei funcții de un anumit tip și anume

e^{{\frac {z}{2}}\left(w-{\frac {1}{w}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{+\ infty }J_{n}(z)w^{n}.

Rapoarte

Formula Jacobi-Anger și înrudite

Obținut din expresia pentru funcția generatoare la , [9] : $a=1$ $w=e^{i\phi )$

e^{{iz\sin \phi }}=J_{0}(z)+2\sum _{{n=1}}^{\infty }J_{{2n}}(z)\cos(2n\ phi )+2i\sum _{{n=1}}^{\infty }J_{{2n-1}}(z)\sin(2n-1)\phi .

Pentru , [9] : $a=1$ $t=ie^{{i\phi }}$

e^{{iz\cos \phi }}=J_{0}(z)+2\sum _{{n=1}}^{\infty }i^{n}J_{n}(z)\cos (n\phi).

Relații recurente

Există o serie de relații de recurență pentru funcțiile Bessel. Aici sunt câțiva dintre ei:

J_{\alpha +1}={\frac {\alpha {x))J_{\alpha }-J'_{\alpha }(x);

J_{\alpha +1}(x)+J_{\alpha -1}(x)={\frac {2\alpha }{x}}J_{\alpha }(x);

J_{\alpha +1}(x)-J_{\alpha -1}(x)=-2J'_{\alpha }(x)

[10] .

Teorema adunării

Pentru orice număr întreg n și complex , avem [11] $z_{1}$ $z_{2}$

J_{n}(z_{1}+z_{2})=\sum _{{k=-\infty }}^{\infty }J_{k}(z_{1})J_{{nk}}( z_{2}).

Expresii integrale

Pentru oricare și (inclusiv cele complexe), [12] $A$ $b$

\int _{0}^{\infty }e^{{-at))J_{n}(bt){\mathrm d}t={\frac {b^{n}}{{\sqrt {a^ {2}+b^{2}}}({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a)^{n}}}.

Un caz special al ultimei formule este expresia

\int _{0}^{\infty }e^{{-at))J_{0}(bt){\mathrm d}t={\frac {1}{{\sqrt {a^{2}+ b^{2}}}}}.

Vezi și

Note

↑ 1 2 Zubov V. I. . Funcțiile Bessel . - M . : MIPT, 2007. Copie arhivată din 24 iunie 2016 la Wayback Machine
↑ Abramowitz și Stegun, p. 437, 10.1.1 Arhivat la 2 septembrie 2006 la Wayback Machine .
↑ Abramowitz și Stegun, p. 439, 10.1.25, 10.1.26 Arhivat la 21 decembrie 2009 la Wayback Machine .
↑ Abramowitz și Stegun, p. 438, 10.1.11 Arhivat la 30 aprilie 2009 la Wayback Machine .
↑ Abramowitz și Stegun, p. 438, 10.1.12 Arhivat la 30 aprilie 2009 la Wayback Machine .
↑ Abramowitz și Stegun, p. 439, 10.1.39 Arhivat la 21 decembrie 2009 la Wayback Machine .
↑ Abramowitz și Stegun, p. 439, 10.1.23, 10.1.24 Arhivat 22 decembrie 2019 la Wayback Machine .
↑ Arfken G. B., Hans J. W. . Metode matematice pentru fizicieni. a 6-a ed. - San Diego: Harcourt, 2005. - ISBN 0-12-059876-0 .
↑ 1 2 Bateman, Erdeyi, 1974 , p. cincisprezece.
↑ V. S. Gavrilov et al. , Bessel functions in problems of mathematical physics Arhivat 26 noiembrie 2019 la Wayback Machine , p. 7
↑ Lavrentiev, Shabat, 1973 , p. 670.
↑ Lavrentiev, Shabat, 1973 , p. 671.

Literatură

Watson G. Teoria funcţiilor Bessel. — M .: IL , 1949.
Bateman G., Erdeyi A. . Funcții Bessel, funcții cilindrice parabolice, polinoame ortogonale // Funcții transcendentale superioare. T. 2. Ed. a II-a / Per. din engleza. N. Ya. Vilenkina. — M .: Nauka , 1974. — 296 p.
Lavrentiev M. A., Shabat B. V. . Metode ale teoriei funcțiilor unei variabile complexe. — M .: Nauka , 1973. — 736 p.