Independență liniară

În algebra liniară, dependența liniară este o proprietate pe care o poate avea o submulțime a unui spațiu liniar . Cu o dependență liniară, există o combinație liniară non-trivială de elemente din această mulțime, egală cu elementul zero . În absența unei astfel de combinații, adică atunci când coeficienții singurei astfel de combinații liniare sunt zero, se spune că mulțimea este liniar independentă .

Exemplu

Vectorii și sunt independenți liniar , deoarece ecuația $\mathbb {R} ^{3}$ $(1,0,0)$ $(0,1,0)$ $(0,0,1)$

a_{1}\cdot (1,0,0)+a_{2}\cdot (0,1,0)+a_{3}\cdot (0,0,1)=(0,0,0)\ quad a_{i}\in {\mathbb {R}}

are o singură soluție, banală.

Vectorii și sunt liniar dependenți, deoarece $(1,0,0)$ $(5,0,0)$

(1,0,0)\cdot 5=(5,0,0),

prin urmare,

-5\cdot (1,0,0)+1\cdot (5,0,0)=(0,0,0).

Definiție

Să existe un spațiu liniar peste câmp și . se numește mulțime liniar independentă dacă oricare dintre submulțimile sale finite este liniar independentă. $V$ $K$ $M\subseteq V$ $M$

O mulțime finită se numește liniar independentă dacă singura combinație liniară egală cu zero este trivială, adică toți coeficienții ei sunt egali cu zero: $M'=\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}$

a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\ldots +a_{n}v_{n}=0\quad \Rightarrow \quad a_{1}=a_{2}= \ldots=a_{n}=0.

Dacă există o astfel de combinație liniară cu cel puțin una , se numește dependentă liniar. Rețineți că prima egalitate implică , în timp ce a doua implică . $a_{i}\neq 0$ $M'$ $0\în V$ $0\în K$

Proprietăți

$0\în M\Rightarrow M$ dependent liniar.
$M$ liniar independent liniar independent pentru toți . $\Sageata dreapta$ $M'$ $M'\subseteq M$
$M$ dependent liniar dependent liniar pentru toti . $\Sageata dreapta$ $M'$ $M'\supseteq M$

Aplicație

Sisteme liniare de ecuații

Un sistem liniar de ecuații, unde este numărul de variabile, are o soluție unică dacă și numai dacă coloanele matricei sale principale sunt liniar independente. $n$ $n$

Rangul matricei

Rangul unei matrice este egal cu numărul maxim al rândurilor sau coloanelor sale liniar independente.

sens geometric

Vectorii și sunt dependenți liniar dacă și numai dacă sunt coliniari (se află pe linii paralele ). ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$
Vectorii sunt dependenți liniar dacă și numai dacă sunt coplanari (se află în același plan ). ${\vec {a)],\;{\vec {b)],\;{\vec {c}}$

Bază

Baza unui spațiu liniar este mulțimea maximă de vectori liniar independenți (maximalitatea este înțeleasă în sensul că atunci când orice vector al acestui spațiu este adăugat la această mulțime, noua mulțime nu va mai fi liniar independentă).

Vezi și

Vectori și matrici

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiu coloane
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte