Ecuația Carathéodory

Ecuația Carathéodory (numită după matematicianul german de origine greacă Constantin Carathéodory ) este o ecuație diferențială obișnuită

{\frac {dx}{dt}}=f(t,\;x),\ x=(x_{1},\;\ldots,\;x_{n})\in \mathbb {R } ^{n},\ n\geqslant 1,\quad(*)

în care partea dreaptă (adică componentele funcției vectoriale ) satisface nu condiția clasică care asigură existența și unicitatea unei soluții cu o valoare inițială dată (continuitate în mulțimea argumentelor și condiția Lipschitz în ), ci o stare mult mai slabă numită condiția Carathéodory : $f$ $X$

funcția vectorială este definită și continuă în raport cu aproape toate (în sensul măsurării Lebesgue ) dintr-o regiune a spațiului . $f$ $X$ $t$ $D$ $(t,\;x)$
funcția vectorială este măsurabilă în raport cu pentru fiecare din domeniul . $f$ $t$ $X$ $D$
pentru fiecare interval mărginit al axei din regiunea , inegalitatea este valabilă unde este funcția însumabilă (adică integrabilă Lebesgue ). $t$ $D$ $|f(t,\;x)|\leqslant m(t),$ $m(t)$

O soluție a ecuației Carathéodory (*) cu o condiție inițială este o funcție vectorială măsurabilă care satisface ecuația integrală $x(t_{0})=x_{0}$ $x(t),$

x(t)=x_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau ,\;x(\tau ))\,d\tau .\quad ( **)

Integrala din (**) este înțeleasă în sensul integralei Lebesgue pentru fiecare componentă a funcției vectoriale . Corectitudinea definiției se bazează pe faptul că compoziția unei funcții măsurabile și a unei funcții care satisface condiția Carathéodory este o funcție integrabilă a variabilei. $f$ $x(t)$ $f(t,\;x)$ $t.$

Ecuațiile lui Carathéodory își găsesc aplicații în diverse domenii ale matematicii. În plus, ele au multe dintre proprietățile inerente ecuațiilor clasice cu o parte dreaptă continuă.

Teorema existenței și unicității

Să presupunem că condiția Carathéodory este îndeplinită în regiunea , atunci există astfel încât ecuația (*) cu condiția inițială să aibă o soluție pe intervalul .Orice număr care îndeplinește condițiile poate fi luat ca $D=\{t_{0}\leqslant t\leqslant t_{0}+a,\;|x-x_{0}|\leqslant b\)$ $a,\;b>0,$ $\delta>0,$ $x(t_{0})=x_{0}$ $x(t)$ $[t_{0},\;t_{0}+\delta ].$ $\delta$

0<\delta \leqslant a,\quad \mu (t_{0}+\delta)\leqslant b,\quad \mu (t):=\int \limits _{t_{0))^{ t}m(\tau )\,d\tau .

Dacă există o funcție integrabilă astfel încât inegalitatea $l(t),$

|f(t,\;x)-f(t,\;y)|\leqslant l(t)|xy|,\quad \forall (t,\;x),\;(t,\ ;y)\în D,

sau inegalitate

(f(t,\;x)-f(t,\;y))\cdot (xy)\leqslant l(t)|xy|^{2},\quad \forall (t,\; x),\;(t,\;y)\în D,

unde în cazul în care punctul înseamnă produsul scalar , atunci ecuația (*) cu condiția inițială din domeniu are cel mult o soluție. $n>1$ $x(t_{0})=x_{0}$ $D$

Literatură

Filippov AF Ecuații diferențiale cu partea dreaptă discontinuă. - Moscova: Nauka, 1985.

Link -uri

Akhmerov R. R. Eseuri despre teoria ecuațiilor diferențiale ordinare