Ecuația Kolmogorov-Chapman

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 14 iulie 2019; verificările necesită 2 modificări .

Ecuația Kolmogorov - Chapman pentru o familie cu un parametru de operatori liniari continui într-un spațiu vectorial topologic exprimă proprietatea semigrupului : $\mathbf {P} (t),\;t>0$

\mathbf {P} (t+s)=\mathbf {P} (t)\mathbf {P} (s).

Cel mai adesea acest termen este folosit în teoria proceselor aleatoare omogene Markov , unde este un operator care transformă distribuția probabilității la momentul inițial de timp în distribuția probabilității la momentul respectiv ( ). $\mathbf {P} (t),\;t\geq 0$ $t$ $\mathbf {P} (0)=\mathbf {1}$

Pentru procesele neomogene se consideră familii de operatori cu doi parametri care transformă distribuția de probabilitate la un moment de timp într-o distribuție de probabilitate la un moment de timp.Pentru acestea, ecuația Kolmogorov-Chapman are forma $\mathbf {P} (t,h),\;h>t>0$ $t>0$ $h>t>0.$

\mathbf {P} (t,s)=\mathbf {P} (t,h)\mathbf {P} (h,s),\;s>h>t>0.

Pentru sistemele cu timp discret, parametrii iau valori naturale . $t,h,s$

Ecuațiile directe și inverse ale lui Kolmogorov

Diferențiând formal ecuația Kolmogorov–Chapman în raport cu , obținem ecuația directă a lui Kolmogorov : $s$ $s=0$

{\frac {d{\mathbf {P}}(t)}{dt}}={\mathbf {P}}(t){\mathbf {Q}},

Unde

\mathbf {Q} =\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {P} (h)-\mathbf {1} {h)).

Diferențiând formal ecuația Kolmogorov-Chapman în raport cu , obținem ecuația inversă a lui Kolmogorov $t$ $t=0$

{\frac {d{\mathbf {P}}(t)}{dt}}={\mathbf {Q}}{\mathbf {P}}(t).

Trebuie subliniat faptul că pentru spațiile cu dimensiuni infinite , operatorul nu mai este neapărat continuu și poate să nu fie definit peste tot, de exemplu, să fie un operator diferențial în spațiul distribuțiilor. ${\mathbf {Q}}$

Exemple

Considerăm procese aleatoare Markov omogene în care operatorul probabilităților de tranziție este dat de densitatea de tranziție : probabilitatea de tranziție de la regiune la regiune în timp este . Ecuația Kolmogorov-Chapman pentru densități are forma: $\mathbb {R} ^{n},$ ${\mathbf {P}}(t)$ $p(t,x,y)$ $U$ $W$ $t$ $\int \limits _{U}dx\,\int \limits _{V}dy\,p(t,x,y)$

p(t+s,x,y)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}p(t,x,z)p(s,z,y)\,dz.

La , densitatea de tranziție tinde către funcția δ (în sensul limitei slabe a funcțiilor generalizate ): . Aceasta înseamnă că Să existe o limită (de asemenea, o funcție generalizată) $t>0,\,t\la 0$ $p(t,x,y)$ $\lim _{t\to 0}p(t,x,y)=\delta (xy)$ $\lim _{t\to 0}\mathbf {P} (t)=\mathbf {1} .$

q(x,y)=\lim _{h\to 0}{\frac {p(h,x,y)-\delta (xy)}{h)).

Apoi operatorul acționează asupra funcțiilor definite ca și ecuația directă a lui Kolmogorov ia forma ${\mathbf {Q}}$ $f(x)$ $\mathbb {R} ^{n},$ $(\mathbf {Q} f)(x)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}q(x,y)f(y)\,dy,$

{\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t))=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n))p(t,x,z)q (z,y)\,dz,

și ecuația inversă a lui Kolmogorov

{\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t))=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n))q(x,z)p(t ,z,y)\,dz.

Fie operatorul un operator diferenţial de ordinul doi cu coeficienţi continui: ${\mathbf {Q}}$

(\mathbf {Q} f)={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}a^{ij}(x){\frac {\partial ^{2}f} {\partial x^{i}\partial x^{j))}+\sum _{j}b^{j}(x){\frac {\partial f}{\partial x^{j))} .

(aceasta înseamnă că există o combinație liniară de prima și a doua derivată cu coeficienți continui). Matricea este simetrică. Fie definit pozitiv în fiecare punct ( difuzie ). Ecuația directă a lui Kolmogorov are forma $q(x,y)$ $\delta (xy)$ $a^{ij}$

{\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t))={\frac {1}{2)}\sum _{i,j}{\frac {\partial ^ {2}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}(a^{ij}(y)p(t,x,y))-\sum _{j}{\frac { \partial }{\partial y^{j}}}(b^{j}(y)p(t,x,y)).

Această ecuație se numește ecuația Fokker-Planck . Vectorul din literatura fizică se numește vector de deriva, iar matricea este tensorul de difuzie . Ecuația inversă a lui Kolmogorov în acest caz $b^{j)$ $a^{ij}$

{\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t))={\frac {1}{2)}\sum _{i,j}a^{ij}(x ){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}p(t,x,y)+\sum _{j}b^{j}( x){\frac {\partial }{\partial x^{j))}p(t,x,y).

Vezi și

Literatură

A. D. Wentzel ', Un curs de teoria proceselor aleatorii. — M.: Nauka, 1996. — 400 p.

Dicționare și enciclopedii	mare chinezesc