Cele mai simple ecuații diferențiale de ordinul întâi

Cele mai simple ecuații diferențiale de ordinul întâi sunt o clasă de ecuații diferențiale de ordinul întâi care sunt cel mai ușor de rezolvat și studiat. Include ecuații în diferențiale totale , ecuații cu variabile separabile, ecuații omogene de ordinul întâi și ecuații liniare de ordinul întâi . Toate aceste ecuații pot fi integrate în forma finală.

Punctul de plecare al prezentării va fi o ecuație diferențială de ordinul întâi, scrisă în așa-numita. forma simetrica:

${\begin{matrice}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrice}}\qquad (1),$

unde funcţiile şi sunt definite şi continue într-un anumit domeniu . $P(t,x)$ $Q(t, x)$ $\Omega \subseteq {\mathbb {R}}_{{t,x}}^{2}$

Ecuații în diferențe totale

Dacă în ecuația (1) partea stângă este o diferență totală, adică , atunci o astfel de ecuație se numește ecuație în diferențiale totale (un caz special al așa-numitei ecuații Pfaff ). Curbele integrale ale unei astfel de ecuații sunt liniile de nivel ale funcției , i.e. sunt determinate de ecuația pentru toate valorile posibile ale unei constante arbitrare . ${\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=dU(t,x)\end{matrix))$ $U(t,x)$ $U(t,x)=C$ $C$

Dacă condiția este îndeplinită în domeniul , atunci soluția generală a ecuației (1) este determinată din ecuație ca funcție implicită . O curbă integrală unică a ecuației (1) trece prin fiecare punct al regiunii . $\Omega$ $Q(t,x)\neq 0$ $U(t,x)=C$ $x=\varphi(t,C)$ $\Omega$ $x=\varphi(t,C)$

Dacă domeniul luat în considerare este pur și simplu conexat, iar derivatele sunt , de asemenea, continue în , atunci pentru ca (1) să fie o ecuație în diferențiale totale, este necesar și suficient ca condiția $\Omega$ ${\frac {\partial P}{\partial x)),{\frac {\partial Q}{\partial t})$ $\Omega$

{\frac {\partial P}{\partial x)}={\frac {\partial Q}{\partial t)}\qquad \forall (t,x)\in \Omega

(un semn al unei ecuații în diferențiale totale).

Factorul de integrare

O funcție continuă în se numește factor integrator al ecuației (1) dacă ecuația este o ecuație în diferențiale totale, adică pentru o anumită funcție . Numărul de factori integratori ai acestei ecuații este infinit. $\mu (t,x)\neq 0$ $\Omega$ $\mu (Pdt+Qdx)=0$ $\mu (Pdt+Qdx)=dU$ $U(t,x)$

O funcție este un factor integrator al ecuației (1) dacă și numai dacă satisface ecuația $\mu(t,x)$

{\frac {\partial {\left(\mu P\right)}}{\partial x}}={\frac {\partial {\left(\mu Q\right)}}{\partial t }}\qquad\stanga(2\dreapta)

( presupunem totuși că domeniul este pur și simplu conectat; ecuația (2) este o consecință a caracteristicii ecuației în diferențiale totale). $\Omega$

Ecuația (2) în general este mai dificil de rezolvat decât (1), dar pentru a integra (1) este suficient să cunoașteți un factor de integrare, adică să găsiți orice soluție a ecuației (2). De obicei, ei caută o soluție (2) sub forma sau , dar acest lucru nu este întotdeauna posibil. $\mu =\mu (t)$ $\mu =\mu (x)$

Algoritm de soluție

(unu) ${\begin{matrice}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrice)}$

(2) ${\begin{matrice}P'_{x}(t,x)=Q'_{t}(t,x)\end{matrice))$

(3) ${\begin{matrice}U'_{t}=P(t,x),U'_{x}=Q(t,x)\end{matrice))$

Luați (3.1) și integrați peste variabila t:

(*) ${\begin{matrix}U(t,x)=\int P(t,x)dt+\varphi (x)\end{matrix))$

Înlocuire în (3.2):

${\begin{matrix}U'_{x}(t,x)=(\int P(t,x)dt)'_{x}+\varphi '_{x}(x)\end {matrice}}$

În egalitatea rezultată, termenii care conțin t vor fi distruși. Primim: . Integram peste x si substituim in (*). ${\begin{matrice}\varphi '_{x}(x)=g(x)\end{matrice)}$

Ecuații de variabile separabile

Dacă în ecuația (1) , atunci aceasta este o ecuație cu variabile separabile . Poate fi scris într-o formă simetrică: $P(t,x)=T_{1}(t)X_{1}(x),\Q(t,x)=T_{2}(t)X_{2}(x)$

T_{1}(t)X_{1}(x)dt+T_{2}(t)X_{2}(x)dx=0\qquad \left(3\right)

Soluții la o ecuație cu variabile separabile
- Soluțiile ecuației sunt soluții ale (3). $X_{1}(x)T_{2}(t)=0$
- Dacă aria este aleasă astfel încât , atunci împărțind la obținem ecuația cu variabile separate $\Omega$ $X_{1}(x)T_{2}(t)\neq 0\quad \forall (t,x)\in \Omega$ $X_{1}(x)T_{2}(t)$

{\frac {T_{1}}{T_{2}}}dt+{\frac {X_{2}}{X_{1}}}dx=0.

Acesta este un caz special al unei ecuații în diferențiale totale. Îi este foarte ușor să obțină o soluție în cuadraturi. Curba integrală a ecuației (3) care trece prin punct are forma: $(t_{0},x_{0})\in \Omega$

\int \limits _{t_{0}}^{t}{{\frac {T_{1}}{T_{2}}}dt}+\int \limits _{x_{0}}^ {x}{{\frac {X_{2}}{X_{1}}}dx}=0.

Un exemplu de ecuație diferențială

$y'={\frac {y}{x}}+cos^{2}{\frac {y}{x}}$