Ecuația gradului al cincilea

O ecuație de gradul cinci se numește ecuație de forma: $ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0$

Teorema lui Vieta pentru ecuațiile de gradul cinci

Rădăcinile ecuației de gradul cinci sunt legate de coeficienți după cum urmează: ${\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4},\,x_{5))$ $a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f$

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=-{\frac {b}{a)),

x_{1}\,x_{2}+x_{1}\,x_{3}+x_{1}\,x_{4}+x_{1}\,x_{5}+x_{2 }\,x_{3}+x_{2}\,x_{4}+x_{2}\,x_{5}+x_{3}\,x_{4}+x_{3}\,x_{5 }+x_{4}\,x_{5}={\frac {c}{a)),

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_ {5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{3}\,x_{5}+x_{1}\,x_{4}\, x_{5}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_{2}\,x_{4}\ ,x_{5}+x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {d}{a)),

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_ {1}\,x_{2}\,x_{4}\,x_{5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}+x_{2}\ ,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}={\frac {e}{a)),

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {f}{a)).

Soluție

Nu există o formulă exactă pentru rezolvarea ecuației gradului al cincilea. Dacă , atunci ecuația arată astfel: $a=1,f=0$

$x^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex=0$ , unde îl scoatem din paranteze (vezi. Ecuația rezumată ) $X$

$x(x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e)=0$ , unde una dintre rădăcini este egală cu zero .

Ecuația de gradul al patrulea între paranteze .

Dacă , ecuația este biquadratică . Una dintre rădăcini este egală cu zero, restul rădăcinilor sunt căutate prin formula $b=d=0$

${\textstyle \pm {\sqrt {-c\pm {\frac {\sqrt {c^{2}-4e}}{2}}}}}$ .

Dacă , ecuația din paranteze este $b=e=0$

$x^{4}+cx^{2}+dx=0$ , unde scoatem parantezele:

$x(x^{3}+cx+d)=0$ , unde una dintre rădăcini este zero, căutăm celelalte trei rădăcini folosind formula Cardano .

Exemplu

Rezolvați ecuația

$x^{5}+5x=0$ .

Soluţie. Să -l scoatem din paranteze: $X$

$x(x^{4}+5)=0$ .

Să luăm în calcul: $x^{4}+5$

$x(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt { 2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\ sqrt {2}}}i)(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}} {\sqrt {2}}}i)=0$ .

Ecuația are cinci rădăcini:

$x_{1}=0$ , , , , . $x_{2}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i$ $x_{3}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\ sqrt{2}}}i$ $x_{4}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\ sqrt{2}}}i$ $x_{5}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i$

Link -uri

Ecuații algebrice
Ecuație liniară Ecuație pătratică ecuația cubică Ecuația gradului al patrulea Ecuația gradului al cincilea Ecuația gradului al șaselea Ecuația gradului al șaptelea