Formula Cardano

Formula Cardano este o formulă pentru găsirea rădăcinilor formei canonice a unei ecuații cubice

y^{3}+py+q=0

peste câmpul numerelor complexe . Este numit după matematicianul italian Gerolamo Cardano , care a publicat-o în 1545 [1] . În 1545, Niccolo Tartaglia l-a acuzat pe Cardano de plagiat: acesta din urmă, în tratatul Ars Magna , a dezvăluit un algoritm de rezolvare a ecuațiilor cubice, încredințat lui de Tartaglia în 1539, sub promisiunea de a nu publica. Deși Cardano nu și-a atribuit algoritmul și a declarat sincer în carte că autorii au fost Scipio del Ferro și Tartaglia, algoritmul este acum cunoscut sub numele nemeritat de „formula lui Cardano” [2] .

Orice ecuație cubică de formă generală

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0

prin modificarea variabilei

x=y-{\frac {b}{3a}}

poate fi redus la forma canonică de mai sus cu coeficienții

p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2} }},

q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.

Formula

Să definim valoarea [3] :

$Q=\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}.$

Dacă toți coeficienții unei ecuații cubice sunt reali , atunci Q este și real, iar semnul său poate fi folosit pentru a determina tipul de rădăcini [3] :

Q > 0 — o rădăcină reală și două rădăcini complexe conjugate.
Q = 0 este o singură rădăcină reală și o dublă rădăcină reală sau, dacă p = q = 0, atunci o triplă rădăcină reală.
Q < 0 sunt trei rădăcini reale. Acesta este așa-numitul caz „ ireductibil ”, și tocmai în analiza acestei situații a apărut mai întâi istoric, conceptul de număr complex, deoarece rezultatul real se obține printr-o formulă folosind numere complexe [3] .

Conform formulei lui Cardano, rădăcinile unei ecuații cubice în formă canonică sunt:

$y_{1}=\alpha +\beta ,$

$y_{{2,3}}=-{\frac {\alpha +\beta }{2}}\pm i{\frac {\alpha -\beta }{2}}{\sqrt {3}},$

Unde

\alpha ={\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {Q}}}},

\beta ={\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {Q}}}},

În acest caz, discriminantul polinomului este egal cu . $y^{3}+py+q$ $\Delta=-108Q$

Aplicând aceste formule, pentru fiecare dintre cele trei valori este necesar să se ia una pentru care condiția este îndeplinită (o astfel de valoare există întotdeauna). $\alfa$ $\beta$ $\alpha \beta=-p/3$ $\beta$

Dacă ecuația cubică este reală, atunci se recomandă să alegeți valori reale ori de câte ori este posibil . $\alpha ,\beta$

Concluzie

Reprezentăm ecuația sub formă

\prod _{{i=1}}^{3}(y-y_{i})=0\qquad (1)

unde sunt rădăcinile ecuației. Apoi $y_{i}$

\prod _{{i=1}}^{3}(y_{i})=-q.\qquad (2)

Să acceptăm:

\ -q=\alpha ^{3}+\beta ^{3}\qquad (3)

Apoi, rezolvând ecuația (3) obținem

\ -q=(\alpha +\beta )(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\alpha \beta )\qquad (4)

Una dintre rădăcini va fi . Înlocuind-o în ecuația inițială, obținem: $\ y=\alpha +\beta$

\alpha ^{3}+\beta ^{3}+(3\alpha \beta +p)(\alpha +\beta )+q=0

Înlocuind q din (3), ajungem la sistemul:

\left\{{\begin{matrix}(3\alpha \beta +p)(\alpha +\beta )=0\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q\end{matrix }}\dreapta.

Știind că în cazul general suma nu este egală cu zero, obținem sistemul

\alpha +\beta

\left\{{\begin{matrix}(3\alpha \beta +p)=0\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q\end{matrix}}\right.

care este echivalent cu sistemul

\left\{{\begin{matrix}\alpha ^{3}\beta ^{3}=-{p^{3} \over 27}=m\\\alpha ^{3}+\beta ^{3 }=-q=-n\end{matrice}}\dreapta.

Aceasta din urmă este formula Vieta pentru două rădăcini și o ecuație pătratică: $\alpha ^{3}$ $\beta ^{3}$

\z^{2}+nz+m=0

Cele două rădăcini rămase se găsesc prin factorizarea polinomului

\ \alpha ^{2}+\beta ^{2}-\alpha \beta

Vezi și

Literatură

Gusak A. A., Gusak G. M., Brichikova E. A. Manual de matematică superioară în două volume. - Minsk: Tetrasystems, 1999. - 640 p. — ISBN 985-6317-51-7 .
Korn G., Korn T. Manual de matematică (pentru cercetători și ingineri) . - M . : Nauka, 1973. - 720 p.

Note

↑ Stillwell D. Matematica și istoria sa . - Moscova-Ijevsk: Institutul de Cercetări Informatice, 2004. - P. 101. - 530 p. Arhivat 21 octombrie 2014 la Wayback Machine Copie arhivată (link indisponibil) . Preluat la 20 mai 2020. Arhivat din original la 21 octombrie 2014. (nedefinit)
↑ Stillwell D. Mathematics and its history. - Moscova-Ijevsk: Institutul de Cercetări Informatice, 2004. - P. 101. - 530 p.
↑ 1 2 3 Manual de matematică superioară, 1999 , p. 144.

Formula Cardano

Formula

Vezi și

Literatură

Note

Link -uri