Ecuația a trei momente

Ecuația celor trei momente este o ecuație pentru calcularea momentelor în problema îndoirii unei grinzi continue cu mai multe trave [1] .

Se știe că o grindă în prezența unor suporturi suplimentare devine static nedeterminată . Una dintre metodele de calcul a unor astfel de grinzi este metoda forței . Folosind această metodă, se derivă ecuația a trei momente [2] :

M_{i-1}l_{i}+2M_{i}(l_{i}+l_{i+1})+M_{i+1}l_{i+1}=-6\left( {\frac {\Omega _{i}a_{i}}{l_{i}}}+{\frac {\Omega _{i+1}b_{i+1}}{l_{i+1}} }\dreapta).

Aici este aria diagramei de momente a fasciculului i -a determinabil static, este distanța de la centrul de greutate al diagramei i -a până la capătul din stânga al fasciculului, este distanța de la centrul de greutate a diagramei i -a la capătul drept al grinzii, este lungimea grinzii i - a. $\Omega _{i)$ $a_{i}$ $b_{i}$ $l_{i}=a_{i}+b_{i)$

Derivarea ecuației celor trei momente prevede că după introducerea balamalei peste suporturi se obține un sistem de grinzi determinat static, fiecare dintre acestea fiind o grindă simplă cu reazeme la capete. Forțele necunoscute în metodă sunt momente aplicate la capetele grinzilor independente. $n$

Istorie

Pentru prima dată, ecuația de calcul a grinzilor continue a fost aplicată de către constructorul de poduri și inginerul de căi ferate Bertot în 1855 [3] . Metoda în sine a fost folosită mai devreme (1849) în reconstrucția podului peste Sena din Asnières (o suburbie a Parisului , cunoscută acum ca Asnières-sur-Seine , fr. Asnières-sur-Seine ), dar a fost publicată de Clapeyron în lucrările Academiei de Științe abia în 1857. Deci, deoarece ideea unui sistem de bază cu momente necunoscute peste suporturi a fost exprimată pentru prima dată de Clapeyron, ecuația celor trei momente este asociată cu numele său [4] . Teoria grinzilor continue a fost dezvoltată în continuare în lucrările lui Otto Mohr , care a generalizat teoria în cazul în care suporturile sunt situate la diferite înălțimi (1860).

Procedura de aplicare

Procedura de rezolvare a problemei folosind ecuația a trei momente este următoarea.

1 . Grinda este tăiată în părți separate (grinzi simple) prin balamale interioare suplimentare în punctele de atașare a suporturilor.

Denumiri ale reacţiilor legăturilor formate: - momente . $M_{0},M_{1},...,M_{n)$

2 . Travele (secțiunile grinzii dintre suporturi) sunt numerotate. Numărul de zboruri este . Consola din stânga este considerată un interval zero, cea din dreapta are numărul . Lungime de deschidere: , . $n$ $n+1$ $l_{i}$ $i=0,...,n+1$

3 . Din starea de echilibru a pieselor cantilever se determină momentele și . Momentele rămase sunt necunoscute sistemului de ecuații a trei momente. $M_{0}$ $M_{n}$ $n-1$

4 . Diagramele momentelor și forțelor tăietoare în trave și console (dacă există) ale grinzilor sunt construite din acțiunea sarcinii externe. Fiecare travă este o grindă separată definită static. $M_{p}$ $Q_p$

5 . Se calculează ariile diagramelor de momente , în trave și distanțele de la centrele de greutate ale acestor zone la suporturile stânga ( ) și dreapta ( ) ale travei corespunzătoare. $\Omega _{i)$ $i=1,...,n$ $a_{i}$ $b_{i}$

6 . Rezolvarea sistemului de ecuații de trei momente se adaugă la diagramele momentelor de la sarcina externă. Diagrama rezultată este diagrama momentelor dintr-un fascicul continuu.

Exemplu

Construiți o diagramă de momente într-o grindă continuă de 19 metri lungime cu patru suporturi (Fig. 1). O sarcină distribuită kN/m, kN/m și o forță concentrată kN acţionează asupra fasciculului. $q_{1}=10$ $q_{2}=12$ $P=9$

Orez. unu

Lungimea cantilever: m. Lungimea travei: m. Obținem sistemul principal al metodei forței prin introducerea de balamale peste suporturi (Fig. 2). Momentele și sunt mărimi cunoscute și sunt determinate din starea de echilibru a consolelor. Nu există nicio consolă potrivită aici, . Pentru consola din stânga, obținem . $l_{0}=4$ $l_{1}=l_{2}=l_{3}=5$ $M_{0}$ $M_{3}$ $M_{3}=0$ $M_{0}=q_{1}l_{0}^{2}/2$

Orez. 2

Construim diagrame de momente dintr-o sarcină externă în grinzi independente ale sistemului principal (determinat static) (Fig. 3). Construim diagrame pe fibră comprimată (cum este obișnuit în inginerie mecanică; în construcții și arhitectură, diagramemomentele sunt de obicei construite pe o fibră întinsă).

Orez. 3

Scriem ecuațiile a trei momente:

$l_{1}M_{0}+2M_{1}(l_{1}+l_{2})+M_{2}l_{2}=-6(\Omega _{1}a_{1} /l_{1}+\Omega _{2}b_{2}/l_{2}),$

$l_{2}M_{1}+2M_{2}(l_{2}+l_{3})+M_{3}l_{3}=-6(\Omega _{2}a_{2} /l_{2}+\Omega _{3}b_{3}/l_{3}).$

Aici rezolvăm sistemul de ecuații kNm, kNm. Construim o diagramă din aceste momente (Fig. 4). $\Omega _{1}=10,8\cdot 5/2=27,$ $a_{1}=(2+5)/3=2,333,$ $\Omega _{2}=\Omega _{3}=2fl_{2}/3=125,$ $a_{2}=b_{2}=a_{3}=b_{3}=2,5.$ $M_{1}=7,301$ $M_{2}=-39,325$

Orez. patru

Adăugăm (pe puncte) diagrame din sarcină (Fig. 3) și din momente (Fig. 4). Obținem diagrama momentelor din grindă (Fig. 5).

Orez. 5

Un avantaj evident al metodei este simplitatea matricei sistemului de ecuații liniare ale problemei. Această matrice este tridiagonală , ceea ce face posibilă aplicarea diferitelor scheme de soluții numerice simplificate.

Note

↑ Kirsanov M. N. . Maple și Maplet. Rezolvarea problemelor de mecanică. - Sankt Petersburg. : Lan, 2012. - 512 p. — ISBN 978-5-8114-1271-6 . - S. 179-181.
↑ Feodosiev V.I. Rezistența materialelor. - M. : Editura de stat de literatură fizică și matematică, 1960. - 536 p. - S. 217.
↑ Bernstein S.A. Eseuri despre istoria mecanicii structurale. - M . : Editura de stat de literatură de construcție și arhitectură, 1957. - 236 p. - S. 209.
↑ Timoșenko S. P. . Istoria științei rezistenței materialelor. a 2-a ed. - M. : URSS, 2006. - 536 p. — ISBN 5-484-00449-7 . - S. 176.

Literatură

Kiselev V. A. . Mecanica structurala. Curs general. - M . : Stroyizdat, 1986. - 520 p.
Gorshkov A. G., Troshin V. N., Shalashilin V. I. . Rezistența materialelor. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 544 p. — ISBN 5-9221-0181-1 .