Ecuații Bloch

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 13 ianuarie 2017; verificările necesită 5 modificări .

Ecuaţii macroscopice utilizate pentru calcularea magnetizării nucleare M = ( M x , M y , M z ) în funcţie de timp cu timpii de relaxare T 1 şi T 2 . Sunt utilizate pe scară largă în ramuri ale fizicii precum RMN , RMN și EPR . Numit după fizicianul laureat al Premiului Nobel Felix Bloch , care le-a prezentat pentru prima dată în 1946 [1] . În literatură, acestea sunt uneori denumite ecuații de mișcare a magnetizării nucleare.

Ecuații în sistemul de coordonate (staționar) de laborator

Fie M ( t ) = ( M x ( t ), M y ( t ), M z ( t )) magnetizarea nucleară. Atunci ecuațiile Bloch au următoarea formă:

{\frac {dM_{x}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{x}-{\frac {M_{x}(t)}{T_{2}}}

{\frac {dM_ {y}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{y}-{\frac {M_{y}(t)}{T_{2}}}

{\frac {dM_ {z}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{z}-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}}

aici γ este raportul giromagnetic și B ( t ) = ( B x ( t ), B y ( t ), B 0 + Δ B z (t)) este intensitatea câmpului magnetic pe nucleu. Componenta Z a vectorului B este suma unei constante ( B 0 ) și a unui Δ Bz (t) care variază în timp , utilizat în special pentru rezoluția spațială a semnalului RMN. × este semnul produsului încrucișat al vectorilor. M 0 - valoarea staționară a magnetizării nucleare (de exemplu, la t → ∞) de-a lungul câmpului extern aplicat.

Justificare fizică

Ecuațiile lui Bloch sunt fenomenologice . În absența relaxării (adică la T 1 și T 2 → ∞), ecuațiile Bloch sunt simplificate la:

{\frac {dM_ {x}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{x)

{\frac {dM_ {y}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{y)

{\frac {dM_ {z}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{z)

sau în notație vectorială:

{\frac {d\mathbf {M} (t)}{dt))=\gamma \mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t)

Aceasta este ecuația pentru precesia Larmor a magnetizării nucleare M în jurul unui câmp aplicat extern B.

Membrii

\left(-{\frac {M_{x}}{T_{2}}},-{\frac {M_{y}}{T_{2}}},-{\frac {M_{z }-M_{0}}{T_{1}}}\right)

corespund procesului de relaxare longitudinală şi transversală a magnetizării nucleare M .

Ecuațiile lui Bloch sunt macroscopice : sunt ecuațiile de mișcare pentru magnetizarea nucleară macroscopică, care pot fi obținute prin adăugarea momentelor magnetice nucleare individuale ale unei probe. Nu sunt potrivite pentru a descrie comportamentul fiecărui moment magnetic.

Forma alternativă a ecuațiilor Bloch

După deschiderea parantezelor produsului încrucișat și introducerea M xy , B xy conform

M_{xy}=M_{x}+iM_{y}{\text{ și }}B_{xy}=B_{x}+iB_{y}

, primim

{\frac {dM_{xy}(t)}{dt))=-i\gamma \left(M_{xy}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_ {xy}(t)\dreapta)-{\frac {M_{xy}}{T_{2}}}

{\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=i\gamma \left(M_{xy}(t){\overline {B_{xy}(t)))-{\overline {M_{xy}}}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{z}-M_{0}}{T_{1}}}

Aici i = √(-1) și : . ${\overline {M_{xy}}}=M_{x}-iM_{y}$

Părțile reale și imaginare ale lui M xy corespund lui M x și M y . M xy este denumit uneori magnetizare nucleară transversală .

Ecuațiile lui Bloch într-un sistem de coordonate rotativ

În absența relaxării ( T 1 și T 2 → ∞) și a unui câmp extern constant îndreptat de-a lungul axei z ( B ( t ) = (0, 0, B 0 ), soluțiile ecuațiilor Bloch sunt

M_{xy}(t)=M_{xy}(0)e^{-i\gamma B_{0}t)

M_{z}(t)=M_{0}={\text{const)}

Astfel, magnetizarea transversală M xy se rotește în jurul axei z cu o frecvență unghiulară ω 0 = γ B 0 în sens invers acelor de ceasornic. Magnetizarea longitudinală M z rămâne constantă în timp. Dacă trecem la un sistem de coordonate care se rotește cu o frecvență Ω (ale cărui alegere poate fi determinată, de exemplu, de frecvența unui câmp variabil extern ΔВ ), atunci soluția din acesta va fi reprezentată ca:

M_{z}'(t)=M_{z}(t)

M_{xy}'(t)=e^{+i\Omega t}M_{xy}(t)

Ecuații de mișcare a magnetizării transversale într-un sistem de coordonate rotativ

Înlocuind expresia din secțiunea anterioară, obținem:

{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))={\frac {d\left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\right)}{ dt}}=e^{+i\Omega t}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}+i\Omega e^{+i\Omega t}M_{xy}=e^{ +i\Omega t}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}+i\Omega M_{xy}'

Ecuațiile Bloch dintr-un sistem de coordonate rotativ iau forma:

{\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))&=e^{+i\Omega t}\left[-i\gamma \left(M_{xy }(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{xy}}{T_{2}}}\right]+ i\Omega M_{xy}'=\\&=\left[-i\gamma \left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}B_{z}(t)-M_{z }(t)B_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\right)-{\frac {M_{xy}e^{+i\Omega t}}{T_{2}}}\ dreapta]+i\Omega M_{xy}'=\\&=-i\gamma \left(M_{xy}'(t)B_{z}'(t)-M_{z}'(t)B_{ xy}'(t)\right)+i\Omega M_{xy}'-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}\end{aligned}}

Ținând cont de reprezentarea acceptată anterior a intensității câmpului magnetic ca sumă a componentelor constante și variabile ( B z ′( t ) = B z ( t ) = B 0 + Δ B z ( t )), ecuațiile iau în cele din urmă formă:

{\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))&=-i\gamma \left(M_{xy}'(t)(B_{0}+\ Delta B_{z}(t))-M_{z}(t)B_{xy}'(t)\right)+i\Omega M_{xy}'-{\frac {M_{xy}'}{T_ {2}}}=\\&=-i\gamma (t)B_{0}M_{xy}'-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\ gamma B_{xy}'(t)M_{z}(t)+i\Omega M_{xy}'-{\frac {M_{xy}'}{T_{2))}\\&=i(\ Omega -\omega _{0})M_{xy}'(t)-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t) M_{z}(t)-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}\\\end{aligned}}

Termeni din partea dreaptă:

i (Ω - ω) M xy ′( t ) - Rotația Larmor într-un sistem de coordonate care se rotește cu frecvența unghiulară Ω față de cea de laborator. Se transformă la zero la Ω = ω 0 .
- i γ Δ B z ( t ) M xy ′( t ) determină influența neomogenității câmpului magnetic de-a lungul axei z (dependență de Δ B z ( t )) asupra magnetizării nucleare transversale.
i γ Δ B xy ′( t ) M z ( t ) determină comportamentul magnetizării transversale atunci când magnetizării nucleare este aplicat un câmp magnetic transversal alternativ ( Δ B xy ′( t ) ). Folosit pentru a descrie efectele RMN pulsate .
- M xy ′( t ) / T 2 descrie scăderea coerenței magnetizării transversale cu timpul.

Soluții simple ale ecuațiilor Bloch

Relaxarea magnetizării nucleare transversale M xy

Presupune:

Câmpul magnetic extern este constant și aplicat de-a lungul axei z ( B z ′( t ) = B z ( t ) = B 0 ). Atunci ω 0 = γ B 0 , Δ B z ( t ) = 0 și B xy ' = 0.
Sistemul de coordonate se rotește față de cel de laborator cu o frecvență Ω = ω 0 .

Apoi, într-un sistem de coordonate rotativ, ecuația de mișcare a magnetizării transversale M xy '( t ) este simplificată la:

{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))=-{\frac {M_{xy}'}{T_{2)))

Rezolvarea acestei ecuații:

M_{xy}'(t)=M_{xy}'(0)e^{-t/T_{2}}

unde M xy '(0) este magnetizarea transversală la t = 0. Când frecvenţa RCS coincide exact cu frecvenţa Larmor (Ω = ω 0 ), vectorul de magnetizare transversală este constant.

impulsuri π/2 și π

Să ne prefacem că:

Câmpul magnetic longitudinal este constant și aplicat de-a lungul axei z. Adică, Bz ′( t ) = Bz ( t ) = B0 , ω0 = γB0 și ΔBz ( t ) = 0 .
La momentul t = 0, un câmp magnetic transversal alternativ la o frecvență ω 0 este aplicat probei .
Sistemul de coordonate se rotește față de cel de laborator cu o frecvență Ω = ω 0 .

{\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))=i(\Omega -\omega _{0})M_{xy}'(t)-i\ gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t)M_{z}(t)-{\frac {M_{xy}'}{T_ {2}}}\end{aliniat}}

Variind timpul de aplicare a câmpului alternativ, este posibil să se realizeze precesia magnetizării nucleare prin unghiurile π/2 și π. Ca rezultat, se poate observa, de exemplu, efectul ecou de spin .

Relaxarea magnetizării nucleare longitudinale M z

Link -uri

↑ F Bloch , Nuclear Induction , Physics Review 70 , 460-473 (1946)

Literatură

Charles Kittel , Introducere în fizica stării solide , John Wiley & Sons, ediția a 8-a (2004), ISBN 978-0-471-41526-8 . Capitolul 13 este despre rezonanța magnetică.

Abraham A. Magnetism nuclear, M.: Izdatelstvo inostr. lit., 1963.
Slikter Ch. Fundamentele teoriei rezonanței magnetice, M.: Mir, 1981.