Ecuații Dehn-Sommerville

Ecuațiile Dehn-Somerville sunt un set complet de relații liniare pentru numărul de fețe de dimensiuni diferite dintr- un poliedru simplu . Aceste ecuații pot fi rescrise pentru politopi simpli, deoarece aceștia din urmă sunt politopi duali cu cei simpli.

Formulare

Pentru un poliedru dimensional simplu dat , notăm cu numărul de fețe de dimensiune ; în special, . Luați în considerare suma formală $n$ $P$ $f_{k}$ $P$ $k$ $f_{n}=1$

\sum _{k}f_{k}\cdot (t-1)^{k}=\sum _{k}h_{k}\cdot t^{k)

unde , adică coeficienții apar în mod natural la deschiderea parantezelor sumei din stânga. $h_{k}=\sum _{i\geqslant k}f_{i}(-1)^{ik}{\binom {i}{k)}$ $h_{k)$

Atunci ecuațiile Dehn-Somerville au forma

h_{k}=h_{nk)

pentru fiecare număr întreg . $k$

Definiții înrudite

Secvența se numește vectorul f al poliedrului. $(f_{0},f_{1},\dots,f_{n})$
Secvența se numește h-vector al poliedrului. $(h_{0},h_{1},\dots,h_{n})$
- Dacă este o funcție liniară în poziție generală, adică toate vârfurile poliedrului se află la diferite niveluri , atunci este egală cu numărul de vârfuri ale indicelui ; adică exact muchiile acestui vârf coboară de-a lungul . Ecuațiile Dehn-Somerville se obțin prin înlocuirea cu . $\ell \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $P$ $\ell$ $h_{k)$ $P$ $k$ $k$ $\ell$ $\ell$ $-\ell$
  - În plus, obținem pentru orice , acest lucru dă inegalități non-triviale pentru vectorul -. $h_{k}\geqslant 0$ $k$ $f$

Istorie

În dimensiunile 4 și 5 relațiile au fost descrise de Max Dehn [1] . În cazul general, ecuațiile au fost descrise de Duncan Somerville în 1927.

Note

↑ M. Dehn, 1905, „Die Eulersche Formel in Zusammenhang mit dem Inhalt in der nicht-Euklidischen Geometrie”, Math. Ann. 61 (1905), 561-586

Literatură

V. A. Timorin. Combinatoria poliedrelor convexe . - MTSNMO, 2002. - (Școala de vară „Matematică modernă”). — ISBN 5-94057-024-0 .