Urelement

În teoria mulțimilor , o ramură a matematicii , un ur -element sau ur-element (de la prefixul german ur- , adică „original” sau „original”) este un obiect (concret sau abstract) care nu este o mulțime , dar care poate fi un element al unui set. Urelementele sunt uneori numite „atomi”.

Teorie

Dacă este un urelement, nu are sens să spui asta $U$

X\în U,

dar

U\in X

este o declarație legitimă.

Urelementul nu trebuie confundat cu setul gol - declarația

X\in \varnothing

este bine format, dar fals.

Această viziune asupra urelements se bazează pe teoria mulțimilor a două tipuri, adică orice set se află într-un domeniu care conține două tipuri de entități, și anume, mulțimi și urelement. O abordare alternativă este aceea că se pot considera urelementele ca mulțimi goale separate într-o teorie a mulțimii unui tip. În acest caz, axioma extensibilității trebuie formulată și aplicată cu grijă.

Urelementele în teoria mulțimilor

Urelements au apărut pentru prima dată în teoria seturilor lui Zermelo în 1908. Cercetările ulterioare au relevat faptul că, în contextul acestei teorii axiomatice a mulțimilor conexe, urelementele au o valoare matematică mică. Astfel, în teoriile canonice axiomatice de mulțimi ZF și ZFC , elementele u nu sunt menționate deloc. În teoria tipurilor, un obiect de tip 0 poate fi numit urelement, de unde și numele „atom”.