Пустое множество

verificarea necesită 1 editare .

O mulțime goală (în matematică ) este o mulțime care nu conține un singur element . Din axioma volumului rezultă că există o singură mulțime care are această proprietate. Mulțimea goală este submulțimea sa (trivială) , dar nu este elementul său.

Mulțimea goală este o mulțime finită și are cea mai mică cardinalitate dintre toate mulțimile. Mulțimea goală este singura mulțime pentru care clasa de mulțimi echivalentă cu aceasta constă dintr-un singur element (mulțimea goală în sine). De asemenea, mulțimea goală este singura mulțime care are exact 1 submulțime (din el însuși) și singura mulțime care este echivalentă cu oricare dintre submulțimile sale.

Mulțimea goală este trivial decidabilă (și astfel enumerabilă și aritmetică ), tranzitivă și bine ordonată (pentru orice relație de ordine). Mulțimea goală este cel mai mic număr ordinal și cel mai mic număr cardinal . În topologie , setul gol este atât închis , cât și deschis .

$\in$ -lanț, pornind de la o mulțime arbitrară, al cărei membru ulterior este un element al celui precedent, se termină întotdeauna cu o mulțime goală după un număr finit de pași (vezi axioma regularității ). Astfel, setul gol este blocul din care sunt construite toate celelalte seturi.

În unele formulări ale teoriei mulțimilor se postulează existența unei mulțimi goale (vezi axioma mulțimii goale ), în altele se dovedește.

Mulțimea goală joacă un rol extrem de important în matematică. [unu]

Notație set goală

Setul gol este de obicei notat ca , sau . Mai rar, setul gol este notat cu unul dintre următoarele simboluri: și [2] . $\varnothing$ $\emptyset$ $\{\}$ $\Lambda$ $0$

Символы и ведены в употребление группой Бурбаки (в частности, Андре Вейлем ) в 1939 году. Прообразом послужила буква Ø из датско-норвежского алфавита [3] . $\varnothing$ $\emptyset$

Ianuarie _ _ _ _ _ _ _ _ _

în HTML ca ∅ sau ∅
în LaTeX codul său este \varnothing (caracterul este codificat de \emptyset ) $\emptyset$
în Microsoft Word , un caracter poate fi accesat tastând 2205și apăsând Alt+X
pe Windows cu Alt cod Alt +8709
в системах, использующих X Window System ( Unix / Linux / ChromeOS și др.), с помощью комбинации Ctrl+ ⇧ Shift+ u 2205Пробелили с исполь по помощью комбинации + +Compose{}

В текстах на таких языках, как датский или норвежский, где символ пустого множества может быть спутан с буквой алфавита Ø (при использовании в лингвистике), вместо него может быть использован символ Юникода U+ 29B0 ⦰ reversed empty set (HTML ⦰) [6] .

Niciun set nu este un element al setului gol. Cu alte cuvinte, și, în special, . $\forall a\ (a\notin \varnothing )$ $\varnothing \notin \varnothing$
Пустое множество является подмножеством любого множества. Иначе говоря, и, в частности, . $\forall a\ (\varnothing \subseteq a)$ $\varnothing \subseteq \varnothing$
Unirea mulțimii goale cu orice mulțime este egală cu ultimul [mulțime specificată]. Cu alte cuvinte, și, în special, . $\forall a\ (\varnothing \cup a=a)$ $\varnothing \cup \varnothing =\varnothing$
Intersecția mulțimii goale cu orice mulțime este egală cu mulțimea goală. Cu alte cuvinte, și, în special, . $\forall a\ (\varnothing \cap a=\varnothing )$ $\varnothing \cap \varnothing =\varnothing$
Intersecția oricărei mulțimi cu complementul său este egală cu mulțimea goală. Cu alte cuvinte, . $\forall a\ (a\cap {\overline {a}}=\varnothing )$
Исключение пустого множества из любого множества равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности, . $\forall a\ (a\setminus \varnothing =a)$ $\varnothing \setminus \varnothing =\varnothing$
Eliminarea oricărui set din setul gol este egală cu setul gol. Cu alte cuvinte, și, în special, . $\forall a\ (\varnothing \setminus a=\varnothing )$ $\varnothing \setminus \varnothing =\varnothing$
Cu alte cuvinte, și în special $\forall a\ (\varnothing \triangle a=a\ \land \ a\triangle \varnothing =a)$ $\varnothing \triangle \varnothing =\varnothing$
Produsul cartezian al setului gol și orice set este egal cu setul gol. Cu alte cuvinte, și, în special ,. $\forall a\ (\varnothing \times a=\varnothing \ \land \ a\times \varnothing =\varnothing )$ $\varnothing \times \varnothing =\varnothing$
Setul gol este tranzitiv. Cu alte cuvinte , unde . $\mathrm {Trans} (\varnothing )$ $\mathrm {Trans} (\varnothing )\Leftrightarrow \forall b\ (b\in \varnothing \to b\subseteq \varnothing )$
Setul gol nu este reflectorizant, simetric, antisimetric.
Setul gol este un ordinal . Cu alte cuvinte , unde . $\mathrm {Ord} (\varnothing )$ $\mathrm {Ord} (\varnothing )\Leftrightarrow \mathrm {Trans} (\varnothing )\ \land \ \forall b\ (b\in \varnothing \to \mathrm {Trans} (b))$
Cardinalitatea mulțimii goale este zero . Cu alte cuvinte, . $|\varnothing |=0$
Cu alte cuvinte, $\mu (\varnothing )=0$

Vezi și

Note

↑
Dacă, așa cum se presupune în sistemul nostru, membrii oricărei mulțimi sunt de asemenea mulțimi (inclusiv mulțimea goală) și nu indivizi, atunci este de la sine înțeles că singurul constituent primar al oricărei mulțimi este mulțimea goală.
Frenkel A. A. , Bar-Hillel I. Fundamentele teoriei mulțimilor.
↑ Rudin, Walter. Principiile analizei matematice . — al 3-lea. - McGraw-Hill, 1976. - P. 300. - ISBN 007054235X .
↑ Primele utilizări ale simbolurilor teoriei și logicii mulțimilor . — Istoria apariției simbolurilor teoriei și logicii mulțimilor. Data accesului: 28 septembrie 2010. Arhivat din original la 21 august 2011.
Operatori matematici, interval: 2200–22FF (engleză) (PDF) . Preluat la 6 august 2020. Arhivat din original la 12 iunie 2018.
↑ Monniaux, David UTF-8 (Unicode) compune secvență . — Fișierul de configurare al caracterelor introduse folosind tasta Scriere. Preluat la 25 iunie 2020. Arhivat din original la 3 august 2020.
↑ De exemplu, Grønnum, Nina. Fonetik og Fonologi: Almen og dansk: [ Daneză. ] . — Copenhaga: Akademisk forlag, 2013. — ISBN 978-87-500-4045-3 , 87-500-4045-6.

Literatură

Stoll R. Multimi, logica, teorii axiomatice. — M .: Mir, 1968. — 231 p.
Nefedov V.N. , Osipova V.A. Curs de matematică discretă. - M. : MAI, 1992. - 264 p. — ISBN 5-7035-0157-X .
Halmos, Paul , Teoria multimii naive . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Retipărit de Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (ediția Springer-Verlag). Retipărit de Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (ediție broșată).
Jech, Thomas (2002), Teoria seturilor (ed. al treilea mileniu), Springer Monografii în matematică, Springer, ISBN 3-540-44085-2
Graham, Malcolm (1975), Matematică elementară modernă (ed. a doua), Harcourt Brace Jovanovich , ISBN 0155610392