Condiții Cauchy-Riemann

Condițiile Cauchy-Riemann , numite și condițiile d'Alembert-Euler , sunt relații care leagă părțile reale și imaginare ale oricărei funcții diferențiabile ale unei variabile complexe . $u=u(x,y)$ $v=v(x,y)$ $w=f(z)=u+iv,\z=x+iy$

Formulare

În coordonate carteziene

Pentru ca o funcție definită într-o anumită regiune a planului complex să fie diferențiabilă într-un punct în funcție de o variabilă complexă , este necesar și suficient ca părțile ei reale și imaginare să fie diferențiabile într-un punct ca funcții ale variabilelor reale și și că, în plus, în acest moment au fost îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann: $w=f(z)$ $D$ $z_{0}=x_{0}+iy_{0)$ $z$ $u$ $v$ $(x_{0},y_{0})$ $X$ $y$

{\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y));

{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.

Notație compactă:

{\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}=0,

{\frac {\partial f}{\partial x)}={\frac {1}{i)} {\frac {\partial f}{\partial y)).

Dacă sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann, atunci derivata poate fi reprezentată în oricare dintre următoarele forme: $f'(z)$

{\begin{aligned}f'(z)&={\frac {\partial u}{\partial x))+i{\frac {\partial v}{\partial x)}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial u}{\partial x}}-i{\frac {\partial u}{\partial y))={\frac {\partial v}{\partial y))+i{\frac {\partial v}{\partial x))=\\&={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}.\\\end{aliniat}}

Dovada

1. Necesitatea

Prin ipoteza teoremei, există o limită

f'(z_{0})=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}},

independent de modul de a tinde spre zero. $\Deltaz$

Creștere reală. Să stabilim și să luăm în considerare expresia $\Delta z=\Delta x$

\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))=\lim \limits _ {\Delta x\la 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta x)-f(z_{0})}{\Delta x)).

Existența unei limite complexe este echivalentă cu existența aceleiași limite în orice direcție, inclusiv Prin urmare, în punctul z 0 există o derivată parțială a funcției f ( z ) față de x și are loc formula

\lim _{\Delta z\to 0}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))

\lim _{\Delta x\to 0}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta x)-f(z_{0})}{\Delta x)).

\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))={\frac {\ parțial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}.

Increment pur imaginar . Presupunândcă găsim $\Delta z=i\Delta y$

\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))=\lim \limits _ {\Delta y\la 0}{\frac {f(z_{0}+i\Delta y)-f(z_{0})}{i\Delta y))={\frac {1}{i} }{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial y_{0))}.

Aceasta înseamnă că dacă funcția este diferențiabilă, atunci derivatele funcțiilor față de x și față de y sunt exact aceleași, adică s-a dovedit necesitatea condițiilor Cauchy-Riemann.

2. Suficiență

Cu alte cuvinte, este necesar să se demonstreze în direcția opusă - că, dacă derivatele unei funcții față de x și față de y sunt într-adevăr aceleași, atunci funcția se dovedește a fi diferențiabilă în general în orice direcție.

Creșterea funcției

Urmând definiția diferențiabilității, incrementul unei funcții într-o vecinătate a unui punct poate fi scris ca $f(z)$ $z_{0}$

f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})={\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0})}\Delta x+{ \frac {\partial f(z_{0})}{\partial y_{0))}\Delta y+\xi (x,y),

unde funcția cu valori complexe servește ca termen „subordonat” și tinde spre zero la mai repede decât și i.e. $\xi (x,y)$ $(x,y)\rightarrow (x_{0},y_{0})$ $\Delta x$ $\Delta y,$

\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\xi (x,y)}{\Delta z)}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\xi (x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)}{\Delta z))=0.

Să compunem acum relația de diferență și să o transformăm în formă ${\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))$

{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))={\frac ({\frac {\partial f(z_{0}) )}{\partial x_{0}}}\Delta x+{\frac {1}{i}}{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial y_{0}}}(i\ Delta y)+\xi (x,y)}{\Delta z)).

Condiție de diferențiere

Acum, pentru a demonstra suficiența condițiilor Cauchy-Riemann, le înlocuim în relația de diferență și obținem următoarele:

{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))={\frac ({\frac {\partial f(z_{0}) )}{\partial x_{0))}\Delta x+{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0))}(i\Delta y)+\xi (x,y )}{\Delta z))={\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0))}+{\frac {\xi (x,y)}{\Delta z} }.

Rețineți că, deoarece tinde spre zero, ultimul termen al acestei formule tinde spre zero, în timp ce primul rămâne neschimbat. Prin urmare, limita este aceeași în orice direcție de creștere și nu numai de-a lungul axelor reale și imaginare, ceea ce înseamnă că această limită există, ceea ce dovedește suficiența. $\Deltaz$ ${\tfrac {\partial f(z_{0})}{\partial z_{0)}}=\lim _{\underset {\Delta z\in \mathbb {C} }{\Delta z\ la 0}}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=f'(z_{0})$ $\Delta z,$

În coordonate polare

În sistemul de coordonate polare, condițiile Cauchy-Riemann arată astfel: $(r,\varphi )$

{\frac {\partial u}{\partial r))={\frac {1}{r)){\frac {\partial v}{\partial \varphi ));\quad {\frac {\partial u }{\partial \varphi }}=-r{\frac {\partial v}{\partial r}}.

Notație compactă:

{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {i}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}=0.

Ieșire Polar Record

Reprezentăm funcția originală în formă

f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).

Exprimarea coordonatelor carteziene în termeni polari

\left\{{\begin{matrix}x=r\cos \varphi ;\\y=r\sin \varphi .\end{matrix}}\right.

Să scriem derivata funcției $u(x,y)$

\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial r)}={\frac {\partial u}{\partial x)}{\frac {\partial x} {\partial r))+{\frac {\partial u}{\partial y)){\frac {\partial y}{\partial r))=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\ parțial x))+\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial y));\\{\frac {\partial u}{\partial \varphi ))={\frac {\partial u} {\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \varphi } }=-r\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial x))+r\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial y)).\end{matrix))\ dreapta.

în mod similar, calculăm derivatele funcției $v(x,y)$

\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial v}{\partial r)}={\frac {\partial v}{\partial x)}{\frac {\partial x} {\partial r))+{\frac {\partial v}{\partial y)){\frac {\partial y}{\partial r))=\cos \varphi {\frac {\partial v}{\ parțial x))+\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial y));\\{\frac {\partial v}{\partial \varphi ))={\frac {\partial v} {\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \varphi } }=-r\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial x))+r\cos \varphi {\frac {\partial v}{\partial y)).\end{matrix))\ dreapta.

Regrupați și înmulțiți

\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial r)}=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial x)}+\sin \ varphi {\frac {\partial u}{\partial y));\\{\frac {1}{r)){\frac {\partial v}{\partial \varphi ))=\cos \varphi {\ frac {\partial v}{\partial y))-\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial x));\end{matrice))\right.

\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}=-r\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial x}}+ r\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial y));\\-r{\frac {\partial v}{\partial r))=-r\cos \varphi {\frac {\ partial v}{\partial x}}-r\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial y}}.\end{matrix}}\right.

Folosind Condițiile Cauchy-Riemann în coordonate carteziene,
obținem egalitatea expresiilor corespunzătoare, ceea ce duce la rezultatul

{\frac {\partial u}{\partial r))={\frac {1}{r)){\frac {\partial v}{\partial \varphi ));\quad {\frac {\partial u }{\partial \varphi }}=-r{\frac {\partial v}{\partial r}}.

Relația dintre modul și argumentul unei funcții complexe diferențiabile

Este adesea convenabil să scrieți o funcție complexă în formă exponențială:

f(z)=R(x,y)e^{i\Phi (x,y)}.

Atunci condițiile Cauchy-Riemann leagă modulul și argumentul funcției după cum urmează: $R$ $\Phi$

{\frac {\partial R}{\partial x)}=R{\frac {\partial \Phi {\partial y});\quad {\frac {\partial R}{\partial y} }=-R{\frac {\partial \Phi }{\partial x)).

Și dacă funcția și argumentul său sunt exprimate în sistemul polar în același timp:

f(z)=R(r,\varphi)e^{i\Phi (r,\varphi)},

atunci intrarea devine:

{\frac {\partial R}{\partial r)}={\frac {R}{r)}{\frac {\partial \Phi {\partial \varphi});\quad R{\ frac {\partial \Phi }{\partial r))=-{\frac {\partial R}{r\partial \varphi )).

Sensul geometric al condițiilor Cauchy-Riemann

Fie funcția unde să fie diferențiabilă. Luați în considerare două familii de curbe (linii de nivel) în planul complex. $w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$ $z=x+iy,$ $(X y)$

Prima familie:

u(x,y)=const.

A doua familie:

v(x,y)=const.

Atunci condițiile Cauchy-Riemann înseamnă că curbele primei familii sunt ortogonale cu curbele celei de-a doua familii.

Sensul algebric al condițiilor Cauchy-Riemann

Dacă considerăm mulțimea de numere complexe ca un spațiu vectorial peste , atunci valoarea derivatei unei funcții într-un punct este o mapare liniară dintr-un spațiu vectorial bidimensional în sine ( -liniaritate). Dacă îl considerăm ca un spațiu vectorial unidimensional peste , atunci derivata într-un punct va fi, de asemenea, o mapare liniară a spațiului vectorial unidimensional în sine ( -liniaritate), care în coordonate este o multiplicare cu un număr complex . Evident, fiecare hartă -liniară este -liniară. Întrucât câmpul (spațiul vectorial unidimensional) este izomorf față de câmpul matricelor reale de forma cu operațiile obișnuite cu matrice, condițiile Cauchy-Riemann impuse elementelor matricei jacobiene a mapării într-un punct (mai precis, maparea la un punct ) sunt -condiții de liniaritate , i.e. . $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $f\colon {\mathbb {C}}\to {\mathbb {C}}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $f'(z)$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ ${\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}$ $f$ $z$ ${\tilde {f}}\colon (x,y)\mapsto {\big (}u(x,y),v(x,y){\big ))$ $(X y)$ $\mathbb {C}$ $f'(z)$ ${\tilde {f}}'(x,y)$

Istorie

Aceste condiții au apărut pentru prima dată în lucrarea lui d'Alembert ( 1752 ). În lucrarea lui Euler , raportată la Academia de Științe din Sankt Petersburg în 1777 , condițiile au primit pentru prima dată caracterul unui criteriu general pentru analiticitatea funcțiilor.

Cauchy a folosit aceste relații pentru a construi o teorie a funcțiilor, începând cu un memoriu prezentat Academiei de Științe din Paris în 1814 . Celebra disertație a lui Riemann despre fundamentele teoriei funcțiilor datează din 1851 .

Vezi și

Analiză complexă

Literatură

Evgrafov M. A. Funcții analitice. - Ed. a II-a, revizuită. si suplimentare — M .: Nauka , 1968 . — 472 p.
Privalov II Introducere în teoria funcțiilor unei variabile complexe: Un manual pentru învățământul superior. - M. - L .: Editura de Stat, 1927 . — 316 p.
Sveshnikov A. G. , Tikhonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe. — M .: Nauka, 1974 . — 320 s.
Titchmarsh E. Teoria funcţiilor: Per. din engleza. - Ed. a II-a, revizuită. - M .: Nauka, 1980 . — 464 p.
Shabat BV Introducere în analiza complexă. — M .: Nauka, 1969 . — 577 p.
Cartan A. Calcul diferenţial. forme diferențiale. — M .: Mir , 1971 . — 392 p.