Funcție cu valoare complexă

O funcție cu valori complexe în teoria funcțiilor unei variabile reale este o funcție care ia valori complexe : . $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$

O astfel de funcție poate fi reprezentată ca:

f(x)=u(x)+iv(x)

unde și sunt funcții reale . În acest caz, funcția se numește partea reală a funcției și - partea sa imaginară. În legătură cu o astfel de descompunere, toate conceptele introduse pentru funcțiile cu valori reale sunt transferate în mod natural la funcții cu valori complexe, în special, o funcție cu valori complexe este considerată continuă ( diferențiabilă , analitică , măsurabilă , armonică ) dacă părțile sale reale și imaginare sunt funcții continue (diferențiabile, analitice, măsurabile, armonice). Integrala unei funcții cu valori complexe este definită după cum urmează: $u(x)$ $v(x)$ $u(x)$ $f(x)$ $v(x)$ $f(x)=u(x)+iv(x)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)=\int \limits _{a}^{b}u(x)dx+i\int \limits _{a}^{b }v(x)dx

Cu toate acestea, nu toate proprietățile care sunt valabile pentru părțile reale și imaginare simultan pot fi extinse la funcții cu valori complexe. În special, teorema lui Rolle nu este valabilă pentru funcțiile cu valori complexe în cazul general , de exemplu, derivata unei funcții cu valori complexe a unui argument real:

\sigma (x)=e^{ix}

nu dispare pe interval , deși la punctele de capăt ale segmentului valorile funcției sunt egale cu . $[0,2\pi ]$ $(\sigma (0)=\sigma (2\pi )=1)$

Literatură

Titchmarsh E. Teoria funcţiilor. - Ed. a II-a, revizuită. — M .: Nauka , 1980 . — 464 p.