Funcţie monogenă

Se spune că o funcție este monogenă (sau diferențiabilă în sensul analizei complexe ) într-un punct dacă limită $f\colon {\mathbb {C}}\to {\mathbb {C}}$ $z_{0}\în {\mathbb {C}}$

\lim _{{z\to z_{0}}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}

există și este același pentru apropierea unui punct de-a lungul unui drum arbitrar. Rolul cheie în acest sens este jucat de așa-numita condiție Cauchy-Riemann . O funcție care este monogenă într-o vecinătate a unui punct se numește holomorfă în acel punct. Se spune că o funcție care este monogenă în toate punctele unui domeniu deschis este holomorfă în acel domeniu. $z$ $z_{0}$ $z_{0}\în {\mathbb {C}}$ $D\subseteq \mathbb {C}$

O funcție se numește poligenică dacă o astfel de limită depinde de cale și are infinite de valori. Se poate demonstra că o funcție cu valori complexe poate fi fie monogenă, fie poligenică, iar cazul existenței unui număr finit de valori diferite ale acestei limite este exclus.

Exemplu. Funcția este monogenă la zero: $f(z)=z$

\lim _{{z\to 0}}{\frac {z-0}{z-0}}=1,

iar funcția este poligenică: $f(z)=\overline z$

\lim _{z\to 0}{\frac ({\overline {z))-0}{z-0))=\lim _{z\to 0}{\frac {|z|e ^{-i\phi }}{|z|e^{i\phi }}}=e^{-2i\phi },

\lim _{z\to 0}{\frac {{\overline {z}}-0}{z-0}}=\operatorname {sgn} ^{-2}z,

unde φ este argumentul numărului z − 0, iar sgn este funcția semn complex a lui , care ia o valoare al cărei modul este întotdeauna unitate.

Vezi și

Literatură

Bitsadze A.V. Fundamentele teoriei funcțiilor analitice ale unei variabile complexe - M., Nauka, 1969.
Shabat B.V., Introducere în analiza complexă - M., Nauka, 1969.