Stabilitate (sisteme dinamice)

Stabilitatea este proprietatea unei soluții a unei ecuații diferențiale de a atrage alte soluții la sine, cu condiția ca datele lor inițiale să fie suficient de apropiate . În funcție de natura atracției, se disting diferite tipuri de stabilitate. Sustenabilitatea este un subiect de studiu în discipline precum teoria stabilității și teoria sistemelor dinamice .

Definiții

Fie o regiune a spațiului fazelor , , unde . Luați în considerare un sistem de ecuații diferențiale de următoarea formă: $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$ $I=[\tau ;\infty )$ $\tau \in \mathbb {R}$

{\dot {x}}=f(t,x),

(unu)

unde , funcţia este definită , continuă şi satisface condiţia Lipschitz local în domeniu . $x \in \mathbb{R}^n$ $f$ $X$ $I\times\Omega$

În aceste condiții, pentru orice , există o soluție unică a sistemului (1) care satisface condițiile inițiale: [1] . Evidențiem o soluție definită pe intervalul , astfel încât o vom numi soluția neperturbată. $(t_{0},x_{0})\in I\times \Omega$ $x(t,t_{0},x_{0})$ $x(t_{0},t_{0},x_{0})=x_{0}$ $\varphi (t)$ $J^{+}=[t_{0};\infty )$ $J^{+}\subset I$

Stabilitate conform lui Lyapunov

Soluția neperturbată a sistemului (1) se numește Lyapunov stabil dacă pentru oricare și există , în funcție doar de și și nu în funcție de , astfel încât pentru orice , pentru care , soluția sistemului (1) cu condiții inițiale se extinde la întregul semiaxă și pentru orice satisface inegalitatea [1] . $\varphi (t)$ $t_{0}>\tau$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $\varepsilon$ $t_0$ $t$ $x_{0}$ $\|x_{0}-\varphi (t_{0})\|<\delta$ $X$ $x(t_{0})=x_{0}$ $J^{+}$ $t\in J^{+)$ $\|x(t)-\varphi (t)\|<\varepsilon$

Simbolic este scris astfel:

\forall \varepsilon >0,\forall t_{0}\in I\ \exists \delta (t_{0},\varepsilon )>0:\ \forall x_{0}:\|x_{0} -\varphi (t_{0})\|<\delta \Rightarrow \forall t\in J^{+}:\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\ |<\varepsilon .

O soluție neperturbată a sistemului (1) se numește instabilă dacă nu este stabilă Lyapunov, adică. $\varphi (t)$

\exists \varepsilon >0,\exists t_{0}\in I:\forall \delta >0\\exists x_{0}:\|x_{0}-\varphi (t_{0})\ |<\delta ,\exists t_{*}>t_{0}:\|x(t_{*},t_{0},x_{0})-\varphi (t_{*})\|=\varepsilon .

Stabilitate uniformă

O soluție neperturbată a sistemului (1) se numește uniform stabilă în sensul lui Lyapunov dacă, din definiția anterioară, depinde numai de : $\varphi (t)$ $\delta$ $\varepsilon$

\forall \varepsilon >0\\exists \delta (\varepsilon)>0:\\forall x_{0},\forall t_{0}\in I:\|x_{0}-\varphi (t_ {0})\|<\delta \Rightarrow \forall t\in J^{+}:\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\|<\varepsilon .

Stabilitate asimptotică

O soluție neperturbată a sistemului (1) se numește asimptotic stabilă dacă este Lyapunov stabilă și atractivă, adică condiția este îndeplinită pentru orice soluție cu date inițiale , pentru care inegalitatea este valabilă pentru unele . $\varphi (t)$ $\lim _{t\to \infty }\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\|=0$ $x(t)$ $x_{0}$ $||x_{0}-\varphi (t_{0})||<\delta _{0)$ $\delta _{0)$

Există anumite varietăți de stabilitate asimptotică [2] . Soluția neperturbată a sistemului (1) se numește: $\varphi (t)$

stabil echiasimptotic dacă este stabil și echiatractiv ( nu depinde de ). $x(t)$ $x_{0}$
uniform asimptotic stabil dacă este uniform stabil și uniform atrage ( nu depinde de și ). $x(t)$ $t_0$ $x_{0}$
stabil asimptotic la nivel global dacă este stabil și atractiv la nivel global (nu există nicio restricție asupra ). $x_{0}$
uniform asimptotic stabil în ansamblu dacă este uniform stabil și uniform și atractiv la nivel global.

Notă

Soluția banală poate fi considerată ca o soluție neperturbată a sistemului , ceea ce face condițiile de stabilitate mai simple. Pentru aceasta, este necesar să se introducă o schimbare schimbătoare și să se ia în considerare sistemul $x(t)\equiv 0$ $y=x-\varphi$

{\dot {y}}=g(t,y),

Unde $g(t,y)=f(t,y+\varphi (t))-f(t,\varphi (t)).$

Note

↑ 1 2 Afanasiev et al., 2003 , p. 9.
↑ Rush și colab., 1980 , p. 19.

Literatură

Bellman, R. Teoria stabilității soluțiilor ecuațiilor diferențiale. -M.:Editura de literatură străină, 1954. (Rusă)
Chetaev, N. G. Stabilitatea mișcării. - Ed. a IV-a, Rev. -M .:Nauka, 1990. - 176 p. —ISBN 5-02-014018-X. (Rusă)
Krasovsky, N. N. Câteva probleme ale teoriei stabilității mișcării. —M.:Fizmatgiz, 1959. (Rusă)
Malkin IG Teoria stabilității mișcării. - Ed. a II-a, Rev. -M.:Nauka, 1966. (Rusă)
Demidovich, B. P. Prelegeri despre teoria matematică a stabilității. —M.:Nauka, 1967. — 472 p. (Rusă)
Afanasiev VN , Kolmanovsky VB , Nosov VR Teoria matematică a proiectării sistemelor de control. - Ed. a 3-a, Rev. şi suplimentare .. - M . : Şcoala superioară , 2003. - 614 p. — ISBN 5-06-004162-X . (Rusă)
Filippov, A. F. Introducere în teoria ecuațiilor diferențiale. - Ed. al 2-lea. - Editorial URSS, 2007. - 240 p. —ISBN 978-5-484-00786-8.
Rush, N. , Abets, P. , Lalua, M. Metoda directă Lyapunov în teoria stabilității. — M .: Mir , 1980.