Spațiu fazelor

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 11 februarie 2017; verificările necesită 26 de modificări .

Spațiul de fază în matematică și fizică este un spațiu , fiecărui punct din care corespunde una și doar o stare din mulțimea tuturor stărilor posibile ale sistemului . Punctul din spațiu corespunzător stării sistemului se numește „ reprezentare ” sau „ reprezentare ” pentru acesta. Astfel, schimbarea stărilor sistemului, adică dinamica acestuia , poate fi comparată cu mișcarea punctului reprezentativ; traiectoria acestui punct se numește traiectoria de fază (trebuie remarcat că nu este identică cu traiectoria actuală a mișcării), iar viteza unui astfel de punct de imagine se numește viteza de fază . [A:1] [1]

Conceptul de spațiu de fază a fost dezvoltat la sfârșitul secolului al XIX-lea de Ludwig Boltzmann , Henri Poincaré și Willard Gibbs . [A:2]

Dispoziții generale

De regulă, spațiile cu metrică euclidiană sunt alese , folosind sisteme de coordonate carteziene sau polare .

Pentru sistemele cu un grad de libertate, spațiul de fază degenerează într-un plan de fază .

Traiectorii de fază

Folosind ecuațiile traiectoriei în spațiul fazelor (planul de fază) , se construiesc curbe integrale pentru sistemul studiat , adică curbe în spațiul fazelor astfel încât în fiecare punct tangenta să aibă o pantă dată de ecuația traiectoriei. Construcția geometrică a curbelor integrale se numește „ integrarea calitativă a ecuațiilor ”. [2]

Ar trebui să se distingă conceptele de „ curbă integrală ” și „ traiectorie de fază ” în cazul general, „ deoarece se poate întâmpla ca o curbă integrală să nu fie formată din una, ci din mai multe traiectorii de fază simultan ”. [3]

Modelul curbelor în spațiul de fază (pe planul de fază) poate fi descris prin:

sau o ecuație - în formă de coordonate , adică folosind ecuații care nu conțin timp - și studiază curbele integrale cu aceasta,
sau descrieți printr-un sistem de ecuații în formă parametrică , unde variabila independentă , timpul, joacă rolul unui parametru și studiați traiectoriile fazelor. [patru] $t$

Necesitatea de a distinge între aceste două moduri de reprezentare a aceleiași familii de curbe poate fi demonstrată prin exemplul celui mai simplu sistem conservator descris de forma ecuației [patru] ${\ddot {x}}=f(x)$

Întreaga traiectorie a fazelor este curba în spațiul fazelor, care este descrisă de punctul reprezentativ pentru întregul timp al mișcării sale (de la până la ). [3] $t=-\infty$ $t=+\infty$

Portret de fază

Portretul de fază al sistemului studiat este un set de traiectorii de fază pentru toate condițiile inițiale posibile . [3] Poate fi privit ca o varietate integrală . [A:3]

Deoarece, atunci când studiem comportamentul unui sistem, cineva este interesat în primul rând de mișcările staționare în sistem, [2] portretul de fază poate fi considerat și ca o împărțire a spațiului de fază în domenii de atracție a soluțiilor staționare. [A:1]

Clasificarea naturii punctelor singulare ale unui sistem de ecuații poate fi efectuată pe baza caracteristicilor portretului de fază, deoarece cel puțin pentru unele sisteme fiecare punct singular al unui sistem de ecuații diferențiale este, de asemenea, un punct singular în sensul folosit în geometria diferenţială . [patru]

F.p. de obicei cumva deformat atunci când parametrii sistemului se modifică . O schimbare calitativă a f.p. corespunde dispariției existente și nașterii unor noi soluții staționare, iar o astfel de modificare a f.p. se numește situație de bifurcație . [A:1]

Pentru comoditate, studiul portretului de fază al sistemului este împărțit [4] în studiul naturii mișcărilor sistemului:

stări aproape de echilibru,
pe tot planul de fază.

Când studiem portretul de fază, imaginea topologică generală a mișcărilor pe planul de fază este de interes în primul rând . [patru]

Viteza fazei

Viteza de fază este viteza cu care se schimbă starea sistemului; corespunde vitezei de mișcare a punctului reprezentativ din spațiul fazelor. [patru]

Pentru a calcula mărimea vitezei de fază, se introduce conceptul de „ vector cu raza de fază ”, așa cum se face în mecanica clasică. [3]

De exemplu, pentru cel mai simplu sistem conservator descris de ecuația , viteza punctului reprezentativ este calculată ca: ${\ddot {x}}=f(x)$

\mathbf {v} =\mathbf {i} y+\mathbf {j} f(x)

și va fi definit în mod unic peste tot și dispare doar într-un punct singular. [4] Modulul vitezei de fază în acest caz va fi calculat ca:

v={\frac {ds}{dt}}={\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy} {dt}}\right)^{2}}}={\sqrt {y^{2}+\left[f(x)\right]^{2}}}

Unde:

{\frac {dx}{dt}}=y

și .

{\frac {dy}{dt}}=f(x)

Calculul vitezei de fază face posibilă urmărirea mai precisă a schimbărilor din sistem. Deci, de exemplu, în cazul unei bifurcări nod șa, se poate găsi o regiune de stări ale sistemului în care are loc o scădere semnificativă a modulului vitezei de fază. [A:1]

Caracteristici ale sistemelor de diferite tipuri

Sisteme mecanice

În mecanica clasică , varietățile netede servesc ca spații de fază . În cazul sistemelor mecanice, acesta este un spațiu uniform, coordonatele în care sunt coordonatele spațiale obișnuite (sau coordonatele generalizate ) ale particulelor sistemului și momentele lor (sau impulsul generalizat ). În plus, în mecanică, mișcarea punctului reprezentativ este determinată de ecuații Hamilton relativ simple , a căror analiză permite să tragem concluzii despre comportamentul sistemelor mecanice complexe. [5]

De exemplu, spațiul de fază pentru un sistem format dintr-un punct material liber are 6 dimensiuni, dintre care trei sunt trei coordonate obișnuite și încă trei sunt componente ale impulsului. În consecință, spațiul de fază pentru un sistem de două puncte de material liber va conține 12 dimensiuni și așa mai departe.

Termodinamică și mecanică statistică

În termodinamică și mecanică statistică, termenul „spațiu fazelor” are două sensuri: 1) este folosit în același sens ca în mecanica clasică; 2) se poate referi și la spațiu, care este parametrizat de stările macroscopice ale sistemului, cum ar fi presiunea, temperatura etc.

Sisteme dinamice

În teoria sistemelor dinamice și în teoria ecuațiilor diferențiale, spațiul fazelor este un concept mai general. Nu este neapărat de dimensiune pară, iar dinamica din acesta nu este neapărat dată de ecuațiile lui Hamilton .

Cazul sistemelor multiple

Dacă luăm în considerare mai multe sisteme identice, trebuie să precizăm mai multe puncte din spațiul fazelor. Totalitatea acestor sisteme se numește ansamblu statistic . Conform teoremei lui Liouville , o curbă închisă (sau suprafață) constând din puncte din spațiul fazelor unui sistem hamiltonian evoluează în așa fel încât aria (sau volumul) spațiului de fază conținut în acesta să fie păstrată în timp.

Exemple

Conceptul de spațiu de fază este utilizat pe scară largă în diferite domenii ale fizicii. [B: 1] [B: 2] S-a dovedit a fi foarte util pentru studierea fenomenelor de memorie de bifurcație . [A:1]

Interpretarea stării unui obiect în mișcare ca punct în spațiul fazelor rezolvă paradoxul lui Zeno . (Paradoxul este că dacă descriem starea unui obiect prin poziția sa în spațiul de configurare, atunci obiectul nu se poate mișca.)

Oscilator armonic

Cel mai simplu sistem oscilator autonom a fost numit „ oscilator armonic ”; dinamica sa este descrisă printr-o ecuație diferențială liniară de forma:

{\ddot x}+\omega _{0}^{2}x=0.

Un astfel de sistem realizează mișcări periodice sinusoidale (armonice); mișcarea oscilativă nu are loc numai în cazul și , adică atunci când oscilatorul este într-o stare de echilibru în momentul inițial - în acest caz, continuă să rămână în el mai departe. Ecuația de coordonate a traiectoriei de fază a unui astfel de sistem definește curbe integrale sub forma unei familii de elipse similare (cu un raport constant de axe) și prin fiecare punct al f.p. traversează una și o singură elipsă. Starea de echilibru indicată este un punct singular al acestui sistem, și anume centrul . [3] $x_{0}=0$ ${\dot {x}}_{0}=0$

Oscilator cuantic

Spațiul de fază al stărilor unui oscilator cuantic face posibilă descrierea zgomotului cuantic al unui amplificator în termenii incertitudinilor componentelor hermitiene și anti-hermitiene ale câmpului; în acest caz, nu este necesară ipoteza liniarității transformării spațiului de fază efectuată de amplificator. [A:4] Derivatele funcției de transfer a amplificatorului definesc o limită inferioară a nivelului de zgomot cuantic. În linii mari, cu cât transformarea este mai complexă, cu atât zgomotul cuantic este mai mare.

Spațiul de fază face posibilă construirea unui formalism unificat pentru mecanica clasică și cuantică. [A:5] Operatorul de evoluție este formulat în termenii parantezei Poisson; în cazul cuantic, acest suport este un comutator obișnuit. În acest caz, mecanica clasică și cea cuantică sunt construite pe aceleași axiome; ele sunt formulate în termeni care au sens atât în mecanica clasică, cât și în cea cuantică.

Teoria haosului

Exemple clasice de diagrame de fază din teoria haosului sunt:

atractor Lorentz
Creșterea populației (adică cartografierea logistică )
Planul parametric al polinoamelor pătratice complexe cu mulţimea Mandelbrot .

Optica

Spațiul de fază este utilizat pe scară largă în optica non-imaging , [B: 3] este o ramură a opticii dedicată iluminatului și panourilor solare. Este, de asemenea, un concept important în optica hamiltoniană .

Vezi și

Note

↑ Andronov, 1981 , p. 38-41.
↑ 1 2 Andronov, 1981 , Introducere, p. 15-34.
↑ 1 2 3 4 5 Andronov, 1981 , Capitolul I. sisteme liniare, p. 35-102.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Andronov, 1981 , Capitolul II. Sisteme neliniare conservatoare, p. 103-167.
↑ V. I. Arnold , V. V. Kozlov , A. I. Neishtadt , Aspecte matematice ale mecanicii clasice și celesti , Sisteme dinamice - 3, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. mat. Fundam. directii, 3, VINITI, M., 1985, 5-290.

Literatură

Cărți

↑ Andronov A. A. , Witt A. A. , Khaikin S. E. Teoria oscilațiilor. - Ed. a II-a, revizuită. și corectat.- M . : Nauka , 1981. - 918 p.
↑ Lichtenberg A. Dinamica particulelor în spațiul de fază. — M .: Atomizdat , 1972. — 304 p.
↑ Julio Chaves. Introducere în optica nonimaging . - A doua editie. - CRC Press , 2015. - 786 p. — ISBN 978-1482206739 . Arhivat pe 18 februarie 2016 la Wayback Machine

Articole

↑ 1 2 3 4 5 Feigin M.I. Manifestarea efectelor memoriei de bifurcare în comportamentul unui sistem dinamic // Soros Educational Journal : Journal. - 2001. - T. 7 , nr. 3 . - S. 121-127 . Arhivat din original la 30 noiembrie 2007. (Rusă)
↑ Nolte, DD Povestea încurcată a spațiului fazelor // Physics Today: Journal. - 2010. - Vol. 63 , nr. 4 . — P. 31–33 . - doi : 10.1063/1.3397041 .
↑ Neishtadt, Anatoly. Cu privire la întârzierea pierderii de stabilitate pentru bifurcarea dinamică (engleză) // Sisteme dimanice discrete și continue - Seria S: Jurnal. - 2009. - Vol. 2 , nr. 4 . - P. 897-909 . — ISSN 1937-1632 . - doi : 10.3934/dcdss.2009.2.897 .
↑ Kuznetsov D. , Roilich D. Quantum noise in phase space mapping // Optics and Spectroscopy : journal. - 1997. - T. 82 , nr. 6 . - S. 990-995 . (Rusă)
↑ Shirokov Yu. M. Quantum and classical mechanics in the representation of phase space // ECHAYA : jurnal. - 1979. - T. 10 , nr 1 . — S. 5–50 . (Rusă)

Link -uri

Pentru definițiile acestui concept, vezi și dicționarele:
- Marea Enciclopedie Sovietică.
- Enciclopedie matematică. — M.: Enciclopedia sovietică. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
- Enciclopedie fizică.
- Dicționar economic și matematic.
În portalul de internet „Enciclopedia fizică” vezi articole care clarifică conceptul de f.p. în fizica statistică și f.p. în teoria sistemelor dinamice .
Spațiu de stat la Scholarpedia.org