Funcția Lyapunov

În teoria stabilității soluțiilor la ecuații diferențiale , funcția Lyapunov este o funcție scalară utilizată pentru a studia stabilitatea soluțiilor unei ecuații diferențiale obișnuite sau a unui sistem de ecuații diferențiale obișnuite folosind a doua metodă (directă) Lyapunov.

Este numit după matematicianul și mecanicul rus Alexander Mikhailovici Lyapunov (1857-1918), fondatorul teoriei moderne a stabilității [1] .

Descriere

În teoremele generale de stabilitate, existența unei funcții Lyapunov cu anumite proprietăți este o condiție suficientă pentru stabilitatea (instabilitatea) soluției la ecuația mișcării. Totuși, teoremele sunt reversibile, iar pentru multe clase de ecuații diferențiale obișnuite existența funcțiilor Lyapunov este, de asemenea, o condiție necesară.

A doua metodă a lui Lyapunov nu necesită găsirea soluțiilor ecuațiilor diferențiale în sine, datorită cărora este posibil să se studieze sisteme neliniare complexe . Cu toate acestea, găsirea unei funcții Lyapunov adecvate a fost întotdeauna o sarcină foarte dificilă. Există o serie de cazuri investigate pentru care un criteriu de stabilitate este derivat teoretic folosind teoreme generale și funcții Lyapunov. De exemplu, stabilitate în prima aproximare. Din acest motiv, a doua metodă Lyapunov este o metodă de interes preponderent teoretic, deoarece construcția funcțiilor auxiliare necesită o intuiție matematică extraordinară din partea cercetătorului. Totuși, această metodă are și o valoare practică importantă [2] .

Cu toate acestea, cel mai important avantaj al metodei funcției Lyapunov față de toate celelalte abordări pentru rezolvarea diferitelor probleme de stabilitate este universalitatea sa. Acum este singura metodă matematică care poate fi folosită pentru a studia stabilitatea sistemelor dinamice de orice formă neliniară și orice dimensiune .

Ecuații de mișcare perturbată [3]

Pentru a studia stabilitatea, ecuațiile inițiale sunt convertite în ecuații de mișcare perturbată.

Să fie dat un sistem de ecuații diferențiale

{\frac {dy_{i}}{dt}}=Y_{i}(t,y_{1},y_{2},...,y_{n}),

$y_{i}=f_{i}(t)$ este o soluție specială a acestui sistem. O vom considera neperturbată, în timp ce restul mișcărilor vor fi perturbate.

Apoi, pentru a-l investiga pentru stabilitate, este necesar să se compună ecuațiile mișcării perturbate.

Să notăm perturbarea mișcării alese. $x_{i}=y_{i}-f_{i}(t)$

Apoi ${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {dy_{i}}{dt}}-{\frac {df_{i}}{dt}}=Y_{i}( t,x_{1}+f_{1},x_{2}+f_{2},...,x_{n}+f_{n})-Y_{i}(t,f_{1},f_ {2},...,f_{n})=X_{i}(t,x_{1},x_{2},...,x_{n}).$

Fiecare mișcare a sistemului original va corespunde soluției noului sistem. În acest caz, soluția neperturbată va corespunde soluției . Acest lucru se poate vedea din ecuații $x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=0.$ $X_{i}(t,0,0,...,0)=0.$

Definiția funcției Lyapunov (pentru sisteme autonome) [3]

Să fie dat un sistem de mișcare perturbată, constând din ecuații diferențiale obișnuite: $n$

{\frac {dx_{i}}{dt}}=X_{i}(x_{1},x_{2},...,x_{n})

i=1,2,3,...,n.

Mai mult, să fie definit și continuu în regiune (unde o constantă pozitivă) și să dispară la valorile zero ale variabilelor. $X_{i}$ $|x_{i}|\leq H$ $H$

O funcție Lyapunov este o funcție de variabile care ia valori reale și satisface următoarele proprietăți: $n$ $V(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$

Funcția este clară;
$V(0,0,...,0)=0;$
Continuă împreună cu derivatele sale parțiale.

$V=V(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ se numeste semn definit (nefericit pozitiv sau categoric negativ) daca in regiune ia valoarea unui singur semn si dispare doar la origine. $|x_{i}|\leq h\leq H$

$V=V(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ se numește semn constant (pozitiv sau negativ) dacă în regiune ia valori de un singur semn și dispare nu numai la origine. $|x_{i}|\leq h\leq H$

$V=V(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ se numește variabilă-semn dacă ia valori diferite.

Teoremele lui Lyapunov pentru sisteme autonome

Lăsa

x^{*}=0

este punctul de echilibru al sistemului de ecuații diferențiale autonome

{\dot {x}}=f(x),

lăsați-l să plece

{\dot {V}}(x)={\frac {\partial V}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla V\cdot {\dot {x}} =\nabla V\cdot f(x)

va fi derivata în timp a candidatului pentru funcția Lyapunov $V.$

Stabilitatea punctului de echilibru

Dacă funcția candidată Lyapunov este pozitivă local și derivata de timp este local nepozitivă: $V$

{\dot {V}}(x)\leq 0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}

într-o apropiere a punctului , atunci punctul de echilibru este stabil. ${\mathcal {B}}$ $0,$

Stabilitate asimptotică locală

Dacă funcția candidată Lyapunov este pozitivă local și derivata temporală este negativă local: $V$

{\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}

într-o apropiere a punctului , atunci punctul de echilibru este stabil asimptotic local. ${\mathcal {B}}$ $0,$

Stabilitate asimptotică globală

Dacă funcția candidată Lyapunov este globală pozitivă, radial nemărginită și derivata în timp este global negativă: $V$

{\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in {\mathbb {R}}^{n}\setminus \{0\},

atunci punctul de echilibru este global asimptotic stabil.

Funcția candidată Lyapunov este radial nemărginită dacă $V(x)$

\|x\|\to \infty \Rightarrow V(x)\to \infty .

Exemplu

Luați în considerare următoarea ecuație diferențială cu soluția x activată $\mathbb {R} :$

{\punct x}=-x.

Ținând cont de faptul că funcția este pozitivă în orice vecinătate a originii fără un punct zero, va fi un candidat firesc pentru funcția Lyapunov pentru a studia comportamentul . Deci, haideți Atunci , $x^{2}$ $X.$ $V(x)=x^{2)$ $\mathbb {R} \setminus \{0\}.$

{\dot {V}}(x)=V'(x)f(x)=2x\cdot (-x)=-2x^{2}<0.

Aceasta arată că punctul de echilibru al ecuației diferențiale este stabil asimptotic și, deoarece funcția este radial nemărginită, punctul de echilibru este global asimptotic stabil. $V(x)=x^{2)$

Note

↑ Lyapunov A. M. Problema generală a stabilității. - Moscova Leningrad: publicație de stat de literatură tehnică și teoretică, 1950.
↑ Rush N., Abets P., Lalua M. Metoda directă Lyapunov în teoria stabilității. - Moscova: Mir, 1980. - S. 7-8. — 300 s.
↑ 1 2 Malkin I. G. Teoria stabilității. - Moscova: Nauka, 1966. - 531 p.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Lyapunov Function (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Khalil, H.K. Sisteme neliniare. — Prentice Hall Upper Saddle River, NJ, 1996.
La Salle, Joseph. Stabilitate prin metoda directă a lui Liapunov: cu aplicații / Joseph La Salle, Solomon Lefschetz. - New York: Academic Press, 1961.

În cataloagele bibliografice	BNF : 119777049 GND : 4274502-0 J9U : 987007565686405171 LCCN : sh85076428 LNB : 000308007