Forma obiectelor relativiste

Aspectul obiectelor care se deplasează cu o viteză relativistă depinde în mod semnificativ de forma obiectului și de modul în care este observat. Se pot distinge două metode principale: fixarea simultană a poziției punctelor de suprafață și fotografiarea folosind maparea ortogonală sau proiectivă.

Fixarea simultană a punctelor de suprafață

Luați în considerare sistemul în care obiectul este în repaus. Fie forma suprafeței sale să fie dată de ecuația . Dacă observatorul din cadrul de referință , în raport cu care sistemul se mișcă cu o viteză , fixează simultan puncte de pe suprafața obiectului în momentul de timp , atunci, datorită transformărilor Lorentz , ecuația suprafeței din sistem va arata ca: $\textstyle S'$ $\textstyle F(x',y',z')=0$ $\textstyle S$ $\textstyle S'$ $\textstyle v$ $\textstyle t=0$ $\textstyle S$

F(\gamma x,\;y,\;z)=0,

unde este factorul Lorentz și este viteza luminii . Ca urmare a unei astfel de observații, obiectul pare comprimat în direcția mișcării (de-a lungul axei ) cu un factor de . Această contracție se numește Lorentzian și este un efect cinematic standard al teoriei relativității . În special, tija paralelă cu axa se dovedește a fi mai scurtă, iar sfera ia forma unui elipsoid. $\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ $\textstyle c$ $\textstyle x$ $\textstyle \gamma$ $\textstyle x$

Fotografia ortogonală

O altă modalitate de a observa este să fotografiați un obiect. Luați în considerare mai întâi proiecția ortogonală a unui punct din spațiul tridimensional pe un film fotografic. Cu această proiecție, razele de lumină cad pe film perpendicular pe planul său. Această fotografie este realizată cu o cameră convențională când subiectul este departe de obiectiv (comparativ cu distanța focală). Un alt model de cameră ortogonală poate fi o placă cu multe găuri care taie razele de lumină incidente oblic. Proiecția ortogonală traduce coordonatele tridimensionale în coordonate fotografice , astfel încât , . $\textstyle(x,y,z)$ $\textstyle(X,Y)$ $\textstyle X=x$ $\textstyle Y=y$

Să presupunem că fotografiarea are loc cu o viteză foarte mare a obturatorului . Pentru un corp volumetric, impulsurile de lumină înregistrate simultan parcurg distanțe diferite din momentul emisiei. Ca urmare, ele sunt emise în momente diferite. Prin urmare, punctele suprafeței fotografiei sunt afișate în trecutul lor diferit.

Calculul suprafeței vizibile se realizează prin înlocuirea transformărilor Lorentz în ecuația suprafeței , $\textstyle F(x',y',z')=0$

F{\bigr (}\gamma (x-vz/c),y,z{\bigl )}=0,

unde timpul este egal cu durata trecerii luminii dintr-un punct de pe suprafata obiectului la filmul fotografic. $\textstyle t=z/c$

Fotografia ortogonală a unui cub

Pentru corpurile de formă geometrică simplă, calculul fotografiei rezultate cu proiecție ortogonală se realizează prin calcularea directă a timpului de întârziere pentru propagarea impulsurilor de lumină [1] . Luați în considerare, de exemplu, un cub care se mișcă cu viteza . Mai jos, în prima figură, filmul este situat în planul ecranului monitorului: $\textstyle v$

A doua figură arată o „vedere de sus”, astfel încât planul filmului este perpendicular pe planul ecranului și trece de-a lungul liniei . Semnale de la puncte și vor parcurge aceeași distanță și se vor înregistra în același timp. Imaginea feței cubului îndreptată spre film, ținând cont de compresia Lorentz, are lungimea . Dintr-un punct situat la o adâncime de film, semnalul luminos parcurge o distanță suplimentară de-a lungul marginii (perpendicular pe film), deci este emis cu un timp mai devreme. În acest moment, cubul, mișcându-se cu o viteză , era la stânga la distanță . Spre deosebire de fotografia unui cub staționar, în timpul mișcării relativiste, fața din partea stângă, comprimată de un factor, va fi vizibilă suplimentar. Rezultatul este același ca atunci când fotografiați un cub staționar rotit printr-un unghi :. $\textstyle x$ $\textstyle A$ $\textstyle B$ $\textstyle L{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ $\textstyle C$ $\textstyle t=L/c$ $\textstyle v$ $\textstyle vt=(v/c)L$ $\textstyle v/c$ $\textstyle \alpha =\arcsin v/c$

Fotografia ortogonală a unei sfere

Rezultatul fotografierii unei sfere care zboară rapid este analizat într-un mod similar:

Cu o proiecție ortogonală a unei sfere fixe , vor fi vizibile doar punctele emisferei îndreptate spre cameră. De exemplu, lumina emisă dintr-un punct în direcția negativă a axei este absorbită momentan de sferă. Sfera care zboară rapid alunecă spre dreapta de sub pulsul de lumină emis de punct spre film. Ca rezultat, o parte din suprafața din spate a sferei va fi vizibilă în fotografie. Punctele situate pe suprafața frontală de-a lungul mișcării, dincolo de unele , nu vor fi vizibile, deoarece sfera, în mișcare, va absorbi impulsurile emise de aceste puncte. Un calcul detaliat arată că sfera din fotografie va fi rotită, dar nu comprimată. Mai jos este o „fotografie” a unei sfere fixe întoarsă de „stâlpul” său către aparatul de fotografiat, iar „fotografie” ei în cazul mișcării cu o viteză de . $\textstyle B$ $\textstyle z$ $\textstyle B$ $\textstyle C$ $\textstyle v=0{,}9\,c$

Rotația Terrell-Penrose

Faptul că obiectele relativiste fotografiate apar mai degrabă rotite decât comprimate se numește rotație Terrell-Penrose. Acest efect a fost subliniat independent în 1959 de James Terrell [2] și Roger Penrose [3] . Prin urmare, uneori acest efect se numește rotație Penrose-Terrell, iar uneori efect Terrell [4] [5] . Rotația Terrell-Penrose, în care un obiect relativist se rotește fără deformarea sa vizibilă, are loc numai atunci când fotografiați cu o proiecție ortogonală. Pentru a calcula rezultatul rotației Terrell-Penrose, se pot folosi atât timpul de propagare a semnalului, cât și formula pentru aberația luminii.

Fotografie proiectivă

Rezultatele fotografierii obiectelor relativiste cu o cameră convențională care efectuează o proiecție centrală vor fi oarecum diferite. În acest caz, razele de lumină trec prin diafragmă. Proiecția pe o fotografie rezultă din deschiderea și închiderea rapidă a diafragmei:

Această proiecție mapează coordonatele 3D ale unui punct de suprafață obiect la coordonatele filmului 2D , după cum urmează: $\textstyle(x,y,z)$ $\textstyle(X,Y)$

X={\frac {x}{z}}\,f,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Y={\frac {y}{z }}\,f,

unde este distanța de la diafragmă la film. Momentul de timp în care au fost emise impulsuri de lumină din punct , este separat în trecut de momentul actual prin distanța de la deschidere : . Dacă înlocuim transformările Lorentz în ecuația suprafeței și apoi transformările proiective , , atunci obținem următoarea ecuație pentru suprafața obiectului din fotografie: $\textstyle f$ $\textstyle(x,y,z)$ $\textstyle {\bar {t}}=0$ $\textstyle t=-{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}/c$ $\textstyle F(x',y',z')=0$ $\textstyle x=zX/f$ $\textstyle y=zY/f$

F\left(z\,\gamma \cdot \left[(X/f)+(v/c){\sqrt {1+(X^{2}+Y^{2})/f^{2} }}\dreapta],\;z\cdot (Y/f),\;z\dreapta)=0.

Pentru fiecare punct al fotografiei este necesar să se rezolve această ecuație pentru . În situația în care există mai multe soluții, se selectează cea care corespunde distanței minime până la diafragmă (punctele rămase ale corpului vor fi blocate de cel mai apropiat). Cunoscând punctul de pe fotografie și timpul de emisie , puteți utiliza transformările Lorentz pentru a obține punctul afișat al suprafeței [synset]. $\textstyle(X,Y)$ $\textstyle z$ $\textstyle(X,Y)$ $\textstyle t$ $\textstyle (x',y',z')$

Ca urmare, în fotografia proiectivă, pe lângă efectul de rotație, asemănător rotației lui Terrell-Penrose, există și o deformare vizibilă a formei obiectului sub forma îndoirii acestuia [6] . Mai jos sunt „fotografii” cubului. Prima imagine este un cub nemișcat , a doua este un cub care zboară cu o viteză : $\textstyle v=0$ $\textstyle v=0{,}9$

Orice tijă verticală care zboară orizontal pe lângă cameră va părea îndoită, deoarece razele care creează imagini ale centrului și capetelor sale sunt emise în momente diferite în trecut. Ca urmare a acestui fapt, capetele tijei vor fi îndoite „în spate” în fotografie.

Experimente în fotografiarea obiectelor relativiste

Posibilitatea practică de a fotografia obiecte care se mișcă cu o viteză apropiată de viteza luminii a apărut la sfârșitul anilor 60 ai secolului XX, după inventarea laserelor capabile să genereze impulsuri de lumină ultrascurte (10 ps = s). La propagarea în apă, un astfel de impuls are dimensiuni cm, unde este indicele de refracție al apei. În plus, a fost necesară dezvoltarea unei viteze de expunere ultra-scurte bazate pe celula Kerr . Cu ajutorul acestor aparate, I. Duguet [7] [8] a fotografiat un impuls de lumină care se mișca în apă cu o viteză de 220.000 km/s. În locul unui corp tridimensional, este fotografiat pulsul inițial, care este împărțit în două impulsuri care zboară paralel, care intră simultan în mediul acvatic și sunt situate la distanțe diferite de cameră. O fotografie a acestor impulsuri, în deplin acord cu teoria relativității , a demonstrat efectul rotației Terrell-Penrose. $\textstyle 10^{{-11}}$ $\textstyle l=cn/t=0{,}2$ $\textstyle n$

Note

↑ Batygin V.V., Toptygin I.N. „Colecție de probleme în electrodinamică” M. R&C Dynamics (2002)
↑ James Terrell (1959). Invizibilitatea contractiei Lorentz . Revista fizică 116: 1041-1045.
↑ Roger Penrose (1959). Forma aparentă a unei sfere în mișcare relativism . Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 55: 137-139.
↑ James Terrell (1989). Efectul Terrell . Jurnalul American de Fizică 57: 9-10.
↑ John Robert Burke și Frank J. Strode (1991). Exerciții la clasă cu efect Terrell . Jurnalul American de Fizică 59: 912-915.
↑ Mărimea și forma obiectelor relativiste . Preluat la 2 martie 2010. Arhivat din original la 9 august 2010. (nedefinit)
↑ M. Duguet. Lumină fotografiată în zbor UFN, 1973, 109, 157.
↑ V. A. Ugarov Fotografând corpuri în mișcare cu viteze relativiste , „Colecția lui Einstein-1973”, p. 201, M., „Nauka”, 1974