Formula fitilului

Formula lui Wick este o formulă a teoriei probabilităților care exprimă așteptarea matematică a unui polinom în coordonatele unui vector gaussian prin elementele matricei de covarianță . Una dintre aplicațiile sale este legătura dintre valoarea medie a polinomului din urmele puterilor unei matrice aleatoare mari și genurile de suprafețe obținute prin lipirea unor poligoane date cu diferite identificări ale laturilor. [unu]

Formulare

Teorema.

Fie un vector gaussian cu așteptare matematică zero și funcții liniare ale . Apoi $(x_{1},\dots ,x_{k})$ $f_{1},\dots,f_{2n)$ $x_{1},\dots,x_{k)$

E(f_{1}\cdot \dots \cdot f_{2n})=\sum \left(E(f_{p_{1}}f_{q_{1}})\right)\cdot \dots \cdot \left(E(f_{p_{n}}f_{q_{n}})\right),

unde însumarea din partea dreaptă se realizează peste toate partițiile setului în perechi cu $\{1,\dots ,2n\}$ $(p_{i},q_{i})$

p_{1}<\dots <p_{n},\quad \forall i\quad p_{i}<q_{i)

(astfel, fiecare partiție este numărată exact o dată). [2]

Exemple

Pentru a clarifica formularea teoremei, dăm câteva exemple:

$E(x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot x_{4})=E(x_{1}\cdot x_{2})\cdot E(x_{3} \cdot x_{4})+E(x_{1}\cdot x_{3})\cdot E(x_{2}\cdot x_{4})+E(x_{1}\cdot x_{4}) \cdot E(x_{2}\cdot x_{3})$ $E(x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot x_{4}\cdot x_{5}\cdot x_{6})=E(x_{1}\cdot x_ {2})\cdot E(x_{3}\cdot x_{4}\cdot x_{5}\cdot x_{6})+E(x_{1}\cdot x_{3})\cdot E(x_ {2}\cdot x_{4}\cdot x_{5}\cdot x_{6})+E(x_{1}\cdot x_{4})\cdot E(x_{3}\cdot x_{2} \cdot x_{5}\cdot x_{6})+E(x_{1}\cdot x_{5})\cdot E(x_{3}\cdot x_{4}\cdot x_{2}\cdot x_ {6})+E(x_{1}\cdot x_{6})\cdot E(x_{3}\cdot x_{4}\cdot x_{5}\cdot x_{2})$

Vezi și

Teorema lui Wick pentru integrala funcțională

Link -uri

↑ A. Okounkov, Random Matrices and Random Permutations Arhivat 17 februarie 2022 la Wayback Machine , p. zece
↑ SK Lando, AK Zvonkin, Grafice încorporate, note de curs Arhivat 18 septembrie 2011 la Wayback Machine , Teorema 3.3.8.