Formula Gauss-Ostrogradsky

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 15 iulie 2021; verificările necesită 10 modificări .

Formula Gauss-Ostrogradsky conectează fluxul unui câmp vectorial diferențiabil continuu printr-o suprafață închisă și integrala divergenței acestui câmp peste volumul delimitat de această suprafață.

Formula este utilizată pentru a converti o integrală de volum într-o integrală pe o suprafață închisă și invers.

Formulare

Fluxul vectorial printr-o suprafață închisă este egal cu integrala volumului preluat delimitat de suprafață [1] $\mathbf {a}$ $S$ $\operatorname {div} \mathbf {a}$ $V$ $S$

\iint \limits _{S}\mathbf {a} \cdot d\mathbf {s} =\iiint \limits _{V}\operatorname {div} \mathbf {a} \cdot d\mathbf {v }

În notația de coordonate, formula Ostrogradsky-Gauss ia forma:

\iint \limits _{S}a_{x}\,dy\,dz+a_{y}\,dz\,dx+a_{z}\,dx\,dy=\iiint \limits _{ V}\left({\frac {\partial a_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial a_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial a_{z }}{\partial z}}\right)\,dx\,dy\,dz

{\displaystyle a_{x}, a_{y}, a_{z))

- proiectii vectoriale

\mathbf {a}

Consecințele teoremei Ostrogradsky-Gauss: 1) în câmpul solenoidal ( ) fluxul vectorial prin orice suprafață închisă este egal cu zero.

\operatorname {div} \mathbf {a} =0

\mathbf {a}

2) dacă există o sursă sau o chiuvetă în interiorul unei suprafețe închise , atunci fluxul vectorial prin această suprafață nu depinde de forma acesteia.

S

\mathbf {a}

Note

În lucrarea lui Ostrogradsky, formula este scrisă în următoarea formă:

\int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\omega =\int ( P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\,ds,

unde și sunt diferențele de volum și respectiv de suprafață. sunt funcții care sunt continue împreună cu derivatele lor parțiale de ordinul întâi într-o regiune închisă a spațiului delimitată de o suprafață netedă închisă [2] . $d\omega$ $ds$ $P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z)$

Notarea modernă a formulei:

\int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\Omega =\int ( P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS,

unde , și . În notația modernă - un element de volum, - un element de suprafață [2] . $\cos \alpha \,{dS}={dy}{dz)$ $\cos \beta \,{dS}={dz}{dx)$ $\cos \gamma \,{dS}={dx}{dy)$ $\omega =d\Omega$ $s=dS$

O generalizare a formulei Ostrogradsky este formula Stokes pentru varietăți cu graniță.

Istorie

Teorema a fost stabilită pentru prima dată de Lagrange în 1762 [3] .

Metoda generală de conversie a unei integrale triple într-o integrală de suprafață a fost prezentată pentru prima dată de Carl Friedrich Gauss ( 1813 , 1830 ) folosind exemplul problemelor din electrodinamică [4] .

În 1826, M. V. Ostrogradsky a derivat formula într-o formă generală, prezentând-o ca o teoremă (publicată în 1831 ). M. V. Ostrogradsky a publicat o generalizare multidimensională a formulei în 1834 [4] . Cu ajutorul acestei formule, Ostrogradsky a găsit o expresie pentru derivată în raport cu un parametru al integralei -fold cu limite variabile și a obținut o formulă pentru variația integralei -fold. $n$ $n$

În străinătate, formula este de obicei numită „teorema divergenței” ( teorema divergenței în engleză ), uneori - formula Gauss sau „formula (teorema) Gauss-Ostrogradsky”.

Vezi și

Note

↑ „Dicționar matematic al școlii superioare” V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich. Editura MPI. articolul „Teorema lui Ostrogradsky” pagina 437.
↑ 1 2 Ilyin V. A. și colab., Analiză matematică. Continuarea cursului / V. A. Ilyin, V. A. Sadovnichy, Bl. X. Sennov. Ed. A. N. Tihonova. - M .: Editura Universității de Stat din Moscova, 1987. - 358 p.
↑ Într-o lucrare despre teoria sunetului din 1762, Lagrange ia în considerare un caz special al teoremei: Lagrange (1762) „Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son” (Noi studii despre natura și propagarea sunetului), Miscellanea Taurinensia ( Mélanges de Turin ), 2 : 11 - 172. Ediție retipărită: „Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son” Arhivat 15 mai 2016 la Wayback Machine în JA Serret, ed., Oeuvres de Lagrange , (Paris). , Franţa: Gauthier -Villars, 1867), voi. 1, paginile 151-316; la paginile 263-265 Arhivat la 13 mai 2016 la Wayback Machine Lagrange convertește integralele triple în integrale duble folosind integrarea prin părți .
↑ 1 2 Alexandrova N. V. Termeni matematici.(Carte de referință). Moscova: Şcoala superioară, 1978, p. 150-151.

Literatură

Ostrogradsky M. V. Note sur les integrales definies. //Mem. l'Acad. (VI), 1, p. 117-122, 29/X 1828 (1831).
Ostrogradsky M. V. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. //Mem. l'Acad., 1, p. 35-58, 24/1 1834 (1838).

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)