Divergenţă

Divergență (din latină divergere - detect discrepancy) - operator diferențial , maparea unui câmp vectorial la unul scalar (adică, ca urmare a aplicării unei operații de diferențiere la un câmp vectorial, se obține un câmp scalar), care determină (pentru fiecare punct) „cât de mult diverg fluxurile de intrare și de ieșire de la o mică vecinătate a unui anumit câmp punct”, mai precis, cât de mult diverg fluxurile de intrare și de ieșire .

Dacă luăm în considerare faptul că fluxului i se poate atribui un semn algebric, atunci nu este nevoie să luăm în considerare fluxurile de intrare și de ieșire separat, totul va fi luat automat în considerare la însumarea cu semnul. Prin urmare, putem da o definiție mai scurtă a divergenței:

divergența este un operator diferențial liniar pe un câmp vectorial care caracterizează fluxul unui câmp dat prin suprafața unui vecinătate suficient de mic (în condițiile unei probleme specifice) a fiecărui punct interior al domeniului de definire a câmpului.

Operatorul de divergență aplicat câmpului este notat ca $\ {\mathbf F}$

\ \operatorname {div}{\mathbf F}

\ \nabla \cdot {\mathbf F}

Definiție

Definiția divergenței arată astfel:

\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\lim _{V\rightarrow 0}({\mathit {\Phi }}_{\\mathbf {F}} \over V},

unde este fluxul câmpului vectorial printr-o suprafață sferică cu aria delimitând volumul . Chiar mai generală și, prin urmare, convenabilă de utilizat, este definiția când se permite să fie oricare forma unei zone cu o suprafață și un volum . Singura cerință este ca acesta să fie în interiorul unei sfere cu o rază care tinde spre zero (adică ca întreaga suprafață să fie într-o vecinătate infinit de mică a unui punct dat, ceea ce este necesar pentru ca divergența să fie o operație locală și pentru care evident că nu este suficient ca suprafaţa şi volumul interiorului său să tindă spre zero). În ambele cazuri, se presupune că $\Phi _{\mathbf {F} }$ $F$ $S$ $V$ $S$ $V$

{\mathit {\Phi }}_{\ \mathbf {F} }=\iint \limits _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\ subset \!\supset \;({\vec {F}},d{\vec {S}}).

Această definiție, spre deosebire de cea de mai jos, nu este legată de anumite coordonate , de exemplu, de carteziană , ceea ce poate fi o comoditate suplimentară în anumite cazuri. (De exemplu, dacă alegeți o vecinătate sub formă de cub sau paralelipiped , formulele pentru coordonatele carteziene sunt ușor de obținut).

Definiția poate fi generalizată cu ușurință și direct la orice dimensiune a spațiului: în acest caz, volumul este înțeles ca fiind volumul -dimensional, iar aria suprafeței ( ) este aria dimensională a (hiper)suprafeței corespunzătoare. dimensiune. $n$ $n$ $n-1$

Definiție în coordonate carteziene

Să presupunem că câmpul vectorial este diferențiabil într-un anumit domeniu. Apoi, într-un spațiu cartezian tridimensional, divergența va fi determinată de expresie

\operatorname {div}\,{\mathbf {F}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}} +{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\ \ \

(aici F este un anumit câmp vectorial cu componente carteziene ): $F_x, F_y, F_z$

Aceeași expresie poate fi scrisă folosind operatorul nabla

\operatorname {div}\,{\mathbf {F}}=\nabla \cdot {\mathbf {F}}\ \ \

Multidimensională, precum și bidimensională și unidimensională, divergența este definită în coordonatele carteziene în spațiile dimensiunii corespunzătoare într-un mod complet similar (doar numărul de termeni se modifică în formula superioară, în timp ce cea inferioară rămâne aceeași, implicând operatorul nabla de dimensiunea corespunzătoare).

Interpretare fizică

Din punctul de vedere al fizicii (atât în sens strict, cât și în sensul imaginii fizice intuitive a unei operații matematice), divergența unui câmp vectorial este un indicator al măsurii în care un punct dat din spațiu (mai precis , o vecinătate suficient de mică a unui punct) este o sursă sau o canalizare a acestui câmp:

\operatorname {div}\,{\mathbf {F}}>0

— punctul câmpului este sursa;

\operatorname {div}\,{\mathbf {F}}<0

— punctul de câmp este o scurgere;

\operatorname {div}\,{\mathbf {F}}=0

- nu există chiuvete și surse, sau se compensează reciproc.

Un exemplu simplu, deși poate oarecum schematic, este un lac (pentru simplitate, o unitate de adâncime constantă cu o viteză orizontală peste tot a curgerii apei care nu depinde de adâncime, dând astfel un câmp vectorial bidimensional pe un spațiu bidimensional) . Dacă doriți să aveți o imagine mai realistă, atunci puteți lua în considerare proiecția vitezei orizontale integrată peste coordonatele spațiale verticale, care va oferi aceeași imagine a unui câmp vectorial bidimensional pe un spațiu bidimensional, iar imaginea va fi calitativ. pentru scopurile noastre nu diferă mult de primul simplificat, dar cantitativ va fi generalizare (foarte realistă). Într-un astfel de model (atât în prima, cât și în cea de-a doua versiune), izvoarele care țâșnesc din fundul lacului vor da o divergență pozitivă a câmpului de viteză curent, iar scurgerile subacvatice (caverne în care curge apa) vor da o divergență negativă. .

Divergența vectorului densității de curent dă minus rata de acumulare a sarcinii în electrodinamică (deoarece sarcina este conservată, adică nu dispare și nu apare, ci se poate deplasa doar prin limitele unui anumit volum pentru a se acumula în el sau lăsați-l; iar dacă există sau sarcini pozitive și negative dispar undeva - atunci doar în cantități egale). (Vezi ecuația de continuitate ).

Divergența unui câmp care are o natură de forță, precum intensitatea câmpului în electrostatică, electrodinamică sau teoria newtoniană a gravitației, divergența determină și poziția surselor de câmp, care în acest caz se numesc sarcini (sarcină electrică în cazul electrostatică și electrodinamică , masă în cazul gravitației newtoniene ). În aceste teorii, divergența intensității câmpului, până la un factor constant [1] , este egală cu densitatea sarcinii (în electrostatică și electrodinamică, densitatea sarcinii electrice; în cazul gravitației, densitatea masei; în plus, cazul gravitaţiei diferă prin semnul acestei constante).

\operatorname {div} \,\mathbf {E} = {\frac {1}{\varepsilon _{0)}}\rho

- pentru câmpul electric și densitatea sarcinii electrice, în SI ,

\operatorname {div} \,\mathbf {g} =-4\pi G\rho

— pentru câmpul gravitațional newtonian.

Interpretare geometrică

Probabil cea mai evidentă și simplă interpretare geometrică generală a divergenței (pe lângă definiția în sine, care este și destul de geometrică) este interpretarea folosind liniile integrale pentru a reprezenta câmpul vectorial (numite și linii de forță în cazul câmpurilor de natură a forței). sau streamlines în cazul unui câmp de viteză a curgerii fluidului).sau gaz). Punctele în care apar linii noi (cu direcția departe de acel punct) sunt punctele în care divergența câmpului este pozitivă; unde se termină liniile (cu direcția dreptei spre punct), acolo divergența este negativă. Acolo unde numărul de linii este constant de-a lungul cursului lor, adică acolo unde încep atâtea linii cât se termină, nu există divergență a câmpului.

Această interpretare se bazează pe un acord conform căruia liniile luate în considerare sunt supuse condiției ca densitatea liniilor în apropierea unui punct dat să fie proporțională cu mărimea câmpului vectorial din această regiune liniile arbitrar mari, și chiar infinite, doar proporționalitatea densității undeva cu mărimea vectorului câmpului este importantă). Altfel, bineînțeles, cel puțin în cazul unei distribuții continue a surselor (încărcărilor), orice linie integrală a câmpului ar putea fi continuată, iar ideea începutului sau a sfârșitului lor undeva ar fi puțin înțeles, cu excepția, poate, a unor discrete. surse, și nu distribuite continuu.

Dacă luăm setul de direcții ale celei mai abrupte coborâri de pe suprafața pământului ca un câmp vectorial (pe un spațiu bidimensional), atunci divergența va arăta locația vârfurilor și a jgheaburilor, iar la vârfuri divergența va fi pozitivă. (direcțiile de coborâre diverg de la vârfuri) și negative la jgheaburi (către jgheaburile direcției de coborâre converg). Totuși, acest lucru nu determină în niciun fel semnul sau egalitatea la zero a divergenței unui astfel de câmp pe pante. [2]

Divergenta in fizica

Divergența este una dintre cele mai utilizate operații în fizică. Este unul dintre puținele concepte de bază ale fizicii teoretice și este unul dintre elementele de bază ale limbajului fizic.

În formularea standard a teoriei clasice a câmpurilor, divergența ocupă un loc central (în formulările alternative poate să nu fie chiar în centrul prezentării, dar rămâne totuși un instrument tehnic important și o idee importantă).

În electrodinamică, divergența este inclusă ca construcție principală în două dintre cele patru ecuații Maxwell . Ecuația de bază a teoriei gravitației newtoniene în formă de câmp conține, de asemenea, divergența (puterile câmpului gravitațional) ca construcție principală. În teoriile tensoriale ale gravitației (inclusiv relativitatea generală și, în primul rând, având în vedere ea), ecuația de bază a câmpului (în relativitatea generală, dar de regulă - într-un fel sau altul - și în teoriile moderne alternative) include și divergențele în unele generalizare. Același lucru se poate spune despre teoria clasică (adică nu cuantică) a aproape oricare dintre câmpurile fundamentale, atât cunoscute experimental, cât și ipotetice.

În plus, după cum se poate observa din exemplele de mai sus, divergența este aplicabilă și în termeni pur geometrici și, de asemenea, - mai ales adesea - la diferite fluxuri de materiale (divergență în viteza unui flux de lichid sau gaz, divergență în densitatea unui flux electric). curent etc.).

Proprietăți

Următoarele proprietăți pot fi derivate din regulile obișnuite de diferențiere.

Liniaritate : pentru orice câmpuri vectoriale F și G și pentru toate numerele reale a și b

\operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatorname {div} \mathbf {F} +b\;\operatorname {div} \mathbf {G }

Dacă φ este un câmp scalar și F este un câmp vectorial, atunci:

\operatorname {div} \varphi \mathbf {F} =\operatorname {grad} \varphi \cdot \mathbf {F} +\varphi \;\operatorname {div} \mathbf {F} ,

\nabla \cdot (\varphi {\mathbf {F}})=(\nabla \varphi )\cdot {\mathbf {F}}+\varphi \;(\nabla \cdot {\mathbf {F}}).

O proprietate care leagă câmpurile vectoriale F și G , date în spațiu tridimensional, cu un rotor :

\operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatorname {putrezire} \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \;-\;\mathbf {F} \cdot \operatorname {putrezire} \mathbf {G} ,

\nabla \cdot ({\mathbf {F}}\times {\mathbf {G}})=(\nabla \times {\mathbf {F}})\cdot {\mathbf {G}}-{\mathbf { F}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {G}}).

Divergența față de gradient este Laplacian :

\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi =\Delta \varphi

Divergenta fata de rotor :

\operatorname {div} \operatorname {putrezire} \mathbf {F} =0

Divergența în coordonatele curbilinii ortogonale

\operatorname {div}({\mathbf {A}})=\operatorname {div}({\mathbf {q_{1}}}A_{1}+{\mathbf {q_{2}}}A_{2} +{\mathbf {q_{3}}}A_{3})=

$={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3))}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1))}(A_{1}H_{2} H_{3})+{\frac {\partial }{\partial q_{2))}(A_{2}H_{3}H_{1})+{\frac {\partial }{\partial q_{3 }}}(A_{3}H_{1}H_{2})\dreapta]$ , unde sunt coeficienții Lame . $Bună$

Coordonate cilindrice

Coeficienți lame:

{\begin{matrix}H_{r}=1;\\H_{\theta}=r;\\H_{z}=1.\end{matrix))

De aici:

\operatorname {div}{\mathbf {A}}(r,\theta ,z)={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(A_{r}r )+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(A_{\theta })+{\frac {\partial }{\partial z}}(A_{ z})

Coordonate sferice

Coeficienți lame:

{\begin{matrix}H_{r}=1;\\H_{\theta}=r;\\H_{\phi }=r\sin {\theta}.\end{matrix))

De aici:

\operatorname {div}{\mathbf {A}}(r,\theta ,\phi )={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\ stânga[A_{r}r^{2}\right]+{\frac {1}{r\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left[A_{ \theta }\sin {\theta }\right]+{\frac {1}{r\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\big [}A_{ \phi }{\big ]}

Coordonate parabolice

Coeficienți lame:

{\begin{matrix}H_{\xi }={\frac {\sqrt {\xi +\eta }}{2{\sqrt {\xi }}}};\\H_{\eta }= {\frac {\sqrt {\xi +\eta }}{2{\sqrt {\eta }}}};\\H_{\phi }={\sqrt {\eta \xi }}\end{matrix} }

De aici:

\operatorname {div}{\mathbf {A}}(\xi ,\eta ,\phi )={\frac {4}{\xi +\eta }}{\frac {\partial }{\partial \xi } }\left[A_{\xi }{\frac {{\sqrt {\xi ^{2}+\xi \eta }}}{2}}\right]+{\frac {4}{\xi +\ eta )){\frac {\partial }{\partial \eta ))\left[A_{\eta }{\frac ({\sqrt {\eta ^{2}+\xi \eta ))}{2} }\right]+{\frac {1}({\sqrt {\xi \eta }}}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\Big [}A_{\phi }{\ mare ]}

Coordonate eliptice

Coeficienți lame:

{\begin{matrix}H_{\xi }=\sigma {\sqrt {\frac {\xi ^{2}-\eta ^{2}} {\xi ^{2}-1)}} ,\\H_{\eta }=\sigma {\sqrt {\frac {\xi ^{2}-\eta ^{2}}{1-\eta ^{2}}}},\\H_{\ phi }=\sigma {\sqrt {(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2})}}.\end{matrice}}

De aici

\operatorname {div}{\mathbf {A}}(\xi ,\eta ,\phi )={\frac {1}{\sigma (\xi ^{2}-\eta ^{2}))){ \frac {\partial }{\partial \xi }}\left[A_{\xi }{\sqrt {(\xi ^{2}-\eta ^{2})(\xi ^{2}-1) }}\dreapta]+

+{\frac {1}{\sigma (\xi ^{2}-\eta ^{2)}))){\frac {\partial }{\partial \eta ))\left[A_{ \ eta }{\sqrt {(\xi ^{2}-\eta ^{2})(1-\eta ^{2})))\right]+{\frac {1}{\sigma {\sqrt { (\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2}))))}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\Big [}A_{\phi }{ \ Mare ]}.

Divergența în coordonatele curbilinii arbitrare și generalizarea acesteia

Formula pentru divergența unui câmp vectorial în coordonate arbitrare (în orice dimensiune finită) poate fi obținută cu ușurință din definiția generală în ceea ce privește limita raportului flux-volum, folosind notația tensorală a produsului mixt și formula tensorului de volum.

Există o generalizare a operației de divergență la acțiune nu numai pe vectori, ci și pe tensori de rang superior.

În general, divergența este definită de derivata covariantă :

\operatorname {div}=(\nabla \cdot )={\vec {R}}^{\alpha }\nabla _{\alpha }\cdot

, unde sunt vectorii de coordonate .

{\vec {R}}^{\alpha }

Acest lucru vă permite să găsiți expresii pentru divergență în coordonate arbitrare pentru un vector:

\nabla \cdot {\vec {v}}={\vec {R}}^{\alpha }\nabla _{\alpha }\cdot v^{i}{\vec {R}}_{i}= \nabla _{i}v^{i}

sau câmp tensor :

\nabla \cdot T={\vec {R}}^{\alpha }\nabla _{\alpha }\cdot T^{{ij}}{\vec {R}}_{i}{\vec {R }}_{j}={\vec {R}}_{j}\nabla _{i}T^{{ij}}

În general, divergența scade rangul tensorului cu 1.

Proprietățile de divergență ale tensorului

\nabla \cdot {\vec {v}}{\vec {v}}={\vec {v}}\nabla \cdot {\vec {v}}+\left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}

Vezi și

Note

↑ Pentru o teorie în vid, care este fundamentală, această constantă este o constantă fundamentală, în funcție doar de sistemul de unități; pentru o teorie fenomenologică într-un mediu capabil de polarizare, problema devine ceva mai complicată, întrucât coeficientul de proporționalitate este influențat de proprietățile (polarizabilitatea) mediului - totuși, pentru un mediu omogen, acest coeficient se dovedește și el o constantă. , deși nu fundamental, dar dependent de substanța mediului.
↑ Dacă definim un câmp vectorial de acest fel astfel încât modulul vectorului acestui câmp să fie întotdeauna unitate (indicând doar direcția), atunci în exemple simple (să zicem, pentru un munte complet simetric) este ușor de observat că divergența va fi pozitivă până la sfârșitul pantei (cu toate acestea, pentru impunerea condiției de unitate a vectorului de direcție al celei mai rapide coborâri în punctele vârfurilor și găurilor, va fi nedefinită, iar divergența în acestea va fi infinită ca mărime); dacă nu impunem condiții vectoriale unitare, ci luăm (ca cea mai simplă) minus gradientul de înălțime , atunci divergența va depinde de convexitatea sau concavitatea pantei (în diferitele sale puncte), care, în general vorbind, poate fi diferită peste tot. pe pantă, atât ca semn, cât și ca mărime (spre deosebire de vârfurile, care sunt întotdeauna convexe, și gropile, care sunt întotdeauna concave - dacă ne referim la punctele extreme de înălțime în sine).

Calcul diferenţial

Principal

vederi private

Operatori diferențiali
( în diferite coordonate )

Prima comanda	Operator Nabla Gradient Divergenţă Rotor Helmholtzian
a doua comanda	Operator eliptic operator Laplace Operator vectorial Laplace operator D'Alembert Operator Laplace-Beltrami
ordine superioare	Operator hipoeliptic

subiecte asemănătoare