Functor Ext

Functorii Ext sunt functori derivați ai functorului Hom . Ele au apărut pentru prima dată în algebra omologică , unde joacă un rol central, cum ar fi teorema coeficientului universal , dar sunt acum utilizate în multe domenii diferite ale matematicii.

Acest functor apare în mod natural în studiul extensiilor de module . Numele vine din engleză. extensie - extensie.

Motivație: extensii de module

Echivalența extensiilor

Fie A o categorie abeliană . Conform teoremei de încorporare Mitchell , putem presupune că lucrăm cu categoria de module. O extensie a unui obiect Z cu un obiect X este o scurtă secvență exactă a formei

0\la X\la Y\la Z\la 0

Două extensii

0\la X\la Y\la Z\la 0

0\la X\la Y'\la Z\la 0

se spune că sunt echivalente dacă există un morfism care face diagrama $g:Y\la Y'$

{\begin{matrix}0&\la &X&\la &Y&\la &Z&\la &0\\&&\downarrow \operatorname {id} &&\downarrow g&&\downarrow \operatorname {id} \\0&\la &X&\ la &Y'&\la &Z&\la &0\end{matrice}}

comutativ, unde este morfismul identitar. Conform lemei șarpelui , g este un izomorfism. $\operatorname {id}$

Clasa de extensie Z de X modulo această relație de echivalență formează o mulțime, care este notă și numită mulțime de clase de extensie Z cu X . $\operatorname {Ext} ^{1}(Z,X)$

Suma lui Baer

Având în vedere două extensii

0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow 0

0\rightarrow B\rightarrow E^{\prime }\rightarrow A\rightarrow 0

se poate construi suma Baer luând în considerare produsul fibros peste , $A$

\Gamma =\left\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\right\}.

Luăm în considerare factorul

{\displaystyle Y=\Gamma /\{(f(b),0)-(0,f'(b))\;|\;b\in B\))

adică factorizăm după relaţiile . Extensie $(f(b)+e,e')\sim (e,f'(b)+e')$

0\rightarrow B\rightarrow Y\rightarrow A\rightarrow 0

unde prima săgeată se mapează la și a doua săgeată se mapează la , se numește suma Baer a extensiilor E și E' . $b$ $[(f(b),0)]=[(0,f'(b))]$ $(e,e')$ $g(e)=g'(e')$

Până la echivalența extensiilor, suma Baer este comutativă, iar extensia trivială este un element neutru. Extensia inversă la 0 → B → E → A → 0 este aceeași extensie în care una dintre săgeți are semnul schimbat, de exemplu, morfismul g este schimbat în -g .

Astfel, mulţimea extensiilor, până la echivalenţă, formează un grup abelian.

Definiție

Fie R un inel si consideram categoria de R -module R -Mod. Fixăm un obiect A din categoria R -Mod și notăm cu T functorul Hom

T(B)=\operatorname {Hom} _{R}(A,B)

Acest functor este lăsat exact . Are functori drept derivati. Functorii Ext sunt definiți după cum urmează:

\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}T)(B)

În special, . $\operatorname {Ext} ^{0}=\operatorname {Hom}$

Dual, se poate folosi functorul Hom contravariant și se poate defini . Functorii Ext definiți în acest fel sunt izomorfi. Ele pot fi calculate folosind rezoluția injectivă B sau , respectiv, rezoluția proiectivă A. $G(A)=\operatorname {Hom} _{R}(A,B)$ $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}G)(A)$

Proprietăți

Exteu
R( A , B ) = 0 pentru i > 0 dacă B este injectiv sau A este proiectiv.
Este adevărat și invers: dacă Ext1R _
( A , B ) = 0 pentru toate A , apoi Exteu
R( A , B ) = 0 pentru tot A și B este injectiv; dacă Ext1R _
( A , B ) = 0 pentru toate B , apoi Exteu
R( A , B ) = 0 pentru toți B și A este proiectiv.
$\operatorname {Ext} _{R}^{n}{\Bigl (}\bigoplus _{\alpha }A_{\alpha },B{\Bigr )}\cong \prod _{\alpha }\ operatorname {Ext} _{R}^{n}(A_{\alpha },B)$
$\operatorname {Ext} _{R}^{n}{\Bigl (}A,\prod _{\beta}B_{\beta }{\Bigr )}\cong \prod _{\beta }\ operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B_{\beta })$
$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{n}(A,B)=0$ pentru n ≥ 2 pentru grupurile abeliene A și B .
$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\mathbb {Z} /p,B)=B/pB$ pentru un grup abelian B . Aceasta poate fi folosită pentru a calcula orice grup abelian A generat finit . $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)$
Fie A un modul finit generat peste un inel noetherian comutativ R . Apoi, pentru orice submulțime S închisă multiplicativ , orice modul B și orice n , . $S^{-1}\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)\cong \operatorname {Ext} _{S^{-1}R}^{n}(S ^{-1}A,S^{-1}B)$
Dacă R este comutativ și noetherian, iar A este un modul R generat finit , atunci următoarele afirmații sunt echivalente pentru orice modul B și orice n :
- $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=0.$
- Pentru fiecare ideal prim al inelului R , . $\mathfrak{p}$ $\operatorname {Ext} _{R_{\mathfrak {p}}}^{n}(A_{\mathfrak {p}}, B_{\mathfrak {p}})=0$
- Pentru fiecare ideal maxim al inelului R , . $\mathfrak{m}$ $\operatorname {Ext} _{R_{\mathfrak {m}}}^{n}(A_{\mathfrak {m}}, B_{\mathfrak {m}})=0$

Literatură

McLane S. Categorii pentru matematicianul de lucru / Per. din engleza. ed. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Weibel, Charles A. O introducere în algebra omologică. - Cambridge University Press , 1994. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38). - ISBN 978-0-521-55987-4 .