Functorii Ext sunt functori derivați ai functorului Hom . Ele au apărut pentru prima dată în algebra omologică , unde joacă un rol central, cum ar fi teorema coeficientului universal , dar sunt acum utilizate în multe domenii diferite ale matematicii.
Acest functor apare în mod natural în studiul extensiilor de module . Numele vine din engleză. extensie - extensie.
Fie A o categorie abeliană . Conform teoremei de încorporare Mitchell , putem presupune că lucrăm cu categoria de module. O extensie a unui obiect Z cu un obiect X este o scurtă secvență exactă a formei
.Două extensii
se spune că sunt echivalente dacă există un morfism care face diagrama
comutativ, unde este morfismul identitar. Conform lemei șarpelui , g este un izomorfism.
Clasa de extensie Z de X modulo această relație de echivalență formează o mulțime, care este notă și numită mulțime de clase de extensie Z cu X .
Având în vedere două extensii
se poate construi suma Baer luând în considerare produsul fibros peste ,
Luăm în considerare factorul
,adică factorizăm după relaţiile . Extensie
unde prima săgeată se mapează la și a doua săgeată se mapează la , se numește suma Baer a extensiilor E și E' .
Până la echivalența extensiilor, suma Baer este comutativă, iar extensia trivială este un element neutru. Extensia inversă la 0 → B → E → A → 0 este aceeași extensie în care una dintre săgeți are semnul schimbat, de exemplu, morfismul g este schimbat în -g .
Astfel, mulţimea extensiilor, până la echivalenţă, formează un grup abelian.
Fie R un inel si consideram categoria de R -module R -Mod. Fixăm un obiect A din categoria R -Mod și notăm cu T functorul Hom
.Acest functor este lăsat exact . Are functori drept derivati. Functorii Ext sunt definiți după cum urmează:
.În special, .
Dual, se poate folosi functorul Hom contravariant și se poate defini . Functorii Ext definiți în acest fel sunt izomorfi. Ele pot fi calculate folosind rezoluția injectivă B sau , respectiv, rezoluția proiectivă A.