Categorie abeliană

O categorie abeliană este o categorie în care pot fi adăugate morfisme, iar nucleele și co- kernelurile există și au anumite proprietăți convenabile. Un exemplu care a devenit prototipul categoriei abeliene este categoria grupurilor abeliene . Teoria categoriei abeliene a fost dezvoltată de Alexander Grothendieck pentru a combina mai multe teorii de coomologie. Clasa categoriilor abeliene este închisă sub mai multe construcții categoriale; de exemplu, categoria de complexe de lanț cu elemente dintr-o categorie abeliană și categoria de functori dintr-o categorie mică într-o categorie abeliană sunt de asemenea abeliene.

Definiție

O categorie preaditivă este abeliană dacă:

există un obiect nul în el ,
toate produsele binare și coprodusele există ,
toate nucleele și sâmburele există,
toate monomorfismele si epimorfismele sunt normale .

Această definiție este echivalentă [1] cu următoarea definiție „pe părți”: o categorie preaditivă este abeliană dacă este aditivă , toate sâmburii și co-nucleele există în ea, iar toate monomorfismele și epimorfismele sunt normale .

Este important ca prezența structurii grupurilor abeliene pe mulțimi de morfisme este o consecință a patru proprietăți din prima definiție. Aceasta subliniază rolul fundamental al categoriei de grupuri abeliene în această teorie.

Exemple

Categoria grupurilor abeliene este abeliană. Categoria grupurilor abeliene generate finit este, de asemenea, abeliană, la fel ca și categoria grupurilor abeliene finite.
Dacă este un inel , atunci categoria modulelor din stânga (sau din dreapta) de deasupra este abeliană. Conform teoremei de încorporare Freud-Mitchell, orice categorie abeliană este echivalentă cu o subcategorie completă a categoriei modulelor. $R$ $R$
Dacă este un inel Noetherian stâng , atunci categoria de module din stânga generate finit este Abelian. În special, categoria modulelor generate finit peste un inel comutativ Noetherian este abeliană. $R$ $R$
Dacă este un spațiu topologic , atunci categoria de snopi de grupuri abeliene pe este abeliană. $X$ $X$

Axiomele lui Grothendieck

În Sur quelques points d'algèbre homologique [2] , Grothendieck a propus câteva axiome suplimentare care pot fi valabile în categoria abeliană . $\mathcal{A}$

AB3) Pentru orice set de obiecte din categoria , există un coprodus . Această axiomă este echivalentă cu completitudinea unei categorii abeliene [3] . $(A_i)_{i\în I}$ $\mathcal{A}$ $\oplus A_i$ $\mathcal{A}$
AB4) satisface Axioma AB3) iar coprodusul oricărei familii de monomorfisme este un monomorfism (adică coprodusul este un functor exact ). $\mathcal{A}$
AB5) satisface Axioma AB3) iar colimitele filtrate secvențelor exacte sunt exacte. În mod echivalent, pentru orice rețea de subobiecte ale unui obiect și orice rețea de subobiecte ale unui obiect , este adevărat că $\mathcal{A}$ $(A_i)_{i\în I}$ $A$ $B$ $A$ $\sum(A_i\cap B)=\sum(A_i) \cap B.$

Axiomele AB3*), AB4*) și AB5*) sunt obținute din axiomele de mai sus ca duale față de ele (adică prin înlocuirea colimitelor cu limite ). Axiomele AB1) și AB2) sunt axiome standard care sunt valabile în orice categorie abeliană (mai precis, o categorie abeliană este definită ca o categorie aditivă care satisface aceste axiome):

AB1) Fiecare morfism are un nucleu și un nucleu.
AB2) Pentru orice morfism , morfismul canonic de la la este un izomorfism. (Aici ). $f:A\la B$ $\mathrm{coim} f$ $\mathrm{im}f$ $\mathrm{coim} f=A/\mathrm{ker} f$

Grothendieck formulează și axiomele mai puternice AB6) și AB6*), dar nu le folosește în această lucrare.

Istorie

Noțiunea de categorie abeliană a fost propusă de Buxbaum în 1955 (a folosit denumirea de „categorie exactă”) și de Grothendieck în 1957 . În acel moment, exista o teorie a coomologiei snopilor pe varietăți algebrice și o teorie a coomologiei grupurilor. Aceste teorii au fost definite diferit, dar au avut proprietăți similare. Grothendieck a reușit să combine aceste teorii; ambele pot fi definite prin functori derivați din categoria abeliană de snopi și respectiv categoria abeliană de module.

Note

↑ Freyd, 1964 .
↑ Grothendieck, 1957 .
↑ Weibel, 1994 , pp. 426-428.

Literatură

D.A. Buchsbaum. Categorii exacte și dualitate // Tranzacții ale Societății Americane de Matematică . - 1955. - T. 80 , nr 1 . — S. 1–34 . — ISSN 0002-9947 . - doi : 10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6 . — .
Peter Freyd. Categorii abeliene . - N.Y .: Harper and Row, 1964.
A. Grothendieck. Sur quelques points d'algebre homologique // The Tohoku Mathematical Journal. a doua serie. - 1957. - T. 9 . — S. 119–221 . — ISSN 0040-8735 .
Charles A. Weibel. O introducere în algebra omologică. — Cambridge University Press, 1994.