Funcția Mangold

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 16 aprilie 2020; verificarea necesită 1 editare .

Funcția Mangoldt este o funcție aritmetică egală cu dacă este o putere a unui număr prim , în caz contrar . Scurt: $\Lambda (n)$ $\ln p$ $n=p^{m)$ $\Lambda (n)=0$

\Lambda (n)={\begin{cases}\ln p,\quad &n=p^{m}\\0,\\quad &n\neq p^{m}\end{cases)}

Funcția Mangoldt a fost propusă de X. Mangoldt în 1894. Folosit pentru a demonstra legea distribuției numerelor prime în general și în progresii aritmetice.

Proprietăți

Din definiţie rezultă că

\sum \limits _{d\mid n}\Lambda (d)=\ln n

Folosind formula de inversare Möbius din formula anterioară, obținem

\Lambda (n)=\sum\limits _{d\mid n}\mu (d)\ln {\frac {n}{d))=-\sum \limits _{d\mid n} \mu (d)\ln d

Relația cu distribuția primelor

Relația cu funcția zeta Riemann : $\ln \zeta (s)=\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}\ln n)),\\ operatorname {Re} s>1$
$-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)))=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{ n^{s}}},\ \operatorname {Re} s>1$
Relații similare sunt valabile și pentru funcțiile L Dirichlet :

\ln L(s,\chi )=\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\chi (n)\Lambda (n)}{n^{s}\ ln n}},\ \operatorname {Re} s>1

-{\frac {L'(s,\chi )}{L(s,\chi )}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi ( n)\Lambda (n)}{n^{s}}},\ \operatorname {Re} s>1

$\sum \limits _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n))\sim \ln x$
$\sum \limits _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n\ln n))=\ln \ln x+\gamma +O(e^{-c{\sqrt {\ln x)))}),$ unde este constanta lui Euler $\gamma$
Funcția psi Chebyshev este funcția de însumare a funcției Mangoldt

\psi (x)=\sum \limits _{{n\leqslant x}}\Lambda (n)

Formula lui Perron , aplicată relației anterioare, dă

{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)))=-s\int \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\psi (x)} {x^{1+s}}}dx,\ \operatorname {Re} s>1

Literatură

Prahar. Distribuția numerelor prime. — M .: Mir, 1967.