Puterea unui număr prim

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 11 octombrie 2020; verificările necesită 6 modificări .

În matematică , puterea unui număr prim este un număr prim ridicat la o putere întreagă pozitivă .

Exemple

Numerele 5 = 5 1 , 9 = 3 2 și 16 = 2 4 sunt puteri prime, în timp ce 6 = 2 × 3, 15 = 3 × 5 și 36 = 6 2 = 2 2 × 3 2 nu sunt.

Cele mai mici douăzeci de puteri ale numerelor prime [1] :

2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 11 , 13 , 16 , 17 , 19 , 23 , 25 , 27 , 29 , 31 , 32 , 37 , 41 , …

Proprietăți

Proprietăți algebrice

Fiecare putere a unui număr prim este divizibilă doar cu un număr prim.
Densitatea de distribuție a puterilor primelor este echivalentă asimptotic cu densitatea primelor până la . $\pi(x)$ $O({\sqrt {x)))$
Orice putere a unui număr prim (cu excepția unei puteri a lui 2) are o rădăcină primitivă . Astfel, grupul multiplicativ de numere întregi modulo p n (sau, echivalent, grupul de unități din inelul Z / p n Z ) este ciclic .
Numărul de elemente ale unui câmp finit este întotdeauna o putere a unui prim și invers, orice putere a unui prim este numărul de elemente ale unui câmp finit (singurul până la izomorfism ).

Proprietăți combinatorii

O proprietate a puterilor unui număr prim, adesea folosită în teoria analitică a numerelor , este că mulțimea puterilor primelor care nu sunt prime este mică în sensul că suma infinită a reciprocelor lor converge , deși mulțimea primelor este un set mare.

Proprietăți de divizibilitate

Funcția Euler ( φ ) și funcția sigma ( σ 0 ) și ( σ 1 ) ale puterii unui număr prim pot fi calculate folosind formulele:

\phi(p^n) = p^{n-1} \phi(p) = p^{n-1} (p - 1) = p^n - p^{n-1} = p^n \ stânga(1 - \frac{1}{p}\dreapta),

\sigma_0(p^n) = \sum_{j=0}^{n} p^{0*j} = \sum_{j=0}^{n} 1 = n+1,

\sigma_1(p^n) = \sum_{j=0}^{n} p^{1*j} = \sum_{j=0}^{n} p^{j} = \frac{p^{ n+1} - 1}{p - 1}.

Toate puterile numerelor prime sunt numere insuficiente . Puterea unui prim p n este n - aproape prim . Nu se știe dacă puterile prime p n pot fi numere prietenoase . Dacă astfel de numere există, atunci p n trebuie să fie mai mare de 10 1500 și n trebuie să fie mai mare de 1400.

Stare necesară

$\forall a\in \mathbb {N} :\gcd(a,N)=1\Rightarrow \gcd(a^{N-1}-1,N)>1$

Fie numărul o putere a unui număr prim . Apoi împărțit la . $N$ $N=p^{k)$ $N-1$ $p-1$

Prin mica teoremă a lui Fermat nu se împarte $\forall a\in \mathbb {N} :p$ $a\Rightarrow a^{p-1}\equiv 1(mod~p)$

$a^{N-1}\equiv a^{p-1}\equiv 1(mod~p)\Rightarrow \gcd(a^{N-1}-1,N)=p^{m} >1,$ Unde $1\leqslant m\leqslant k$

Vezi și

Note

↑ Secvența OEIS A000961 : puterile primelor = Puterile primelor

Literatură

Jones, Gareth A. și Jones, J. Mary. Springer-Verlag. Teoria elementară a numerelor. — Londra: Limited, 1998.