Caracteristica lui Euler

Caracteristica Euler sau caracteristica Euler-Poincaré este o caracteristică întreagă a unui spațiu topologic . Caracteristica Euler a spațiului este de obicei notă cu . $X$ $\chi (X)$

Definiții

Pentru un complex de celule finite (în special, pentru un complex finit simplicial ), caracteristica Euler poate fi definită ca o sumă alternativă $\chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-...,$

unde denotă numărul de celule de dimensiune .

k_i

i

Caracteristica Euler a unui spațiu topologic arbitrar poate fi definită în termenii numerelor Betti ca o sumă alternativă: $b_n$ $\chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\,...$

Această definiție are sens doar dacă toate numerele Betti sunt finite și dispar pentru toți indicii suficient de mari.

Ultima definiție o generalizează pe cea anterioară și se generalizează la alte omologii cu coeficienți arbitrari.

Proprietăți

Caracteristica Euler este un invariant de homotopie ; adică se păstrează sub echivalența homotopică a spațiilor topologice.
- În special, caracteristica Euler este un invariant topologic.
Caracteristica Euler a oricărei varietăți închise de dimensiune impară este egală cu zero [1] .
Caracteristica lui Euler a produsului spațiilor topologice M și N este egală cu produsul caracteristicilor lor Euler:

\chi (M\times N)=\chi (M)\cdot \chi (N).

Euler caracteristica poliedrelor

Caracteristica Euler a poliedrelor topologice bidimensionale poate fi calculată prin formula în care Г, Р și В sunt numărul de fețe, muchii și, respectiv, vârfuri. În special, pentru un poliedru simplu conectat , formula lui Euler este adevărată : $\chi =\Gamma -\mathrm {P} +\mathrm {B} ,$ $\Gamma -\mathrm {P} +\mathrm {B} =\chi (S^{2})=2.$

De exemplu, caracteristica lui Euler pentru un cub este 6 − 12 + 8 = 2, iar pentru o piramidă triunghiulară 4 − 6 + 4 = 2.

Formula Gauss-Bonnet

Pentru o varietate riemanniană compactă bidimensională (suprafață) fără graniță, există formula Gauss-Bonnet , care raportează caracteristica Euler cu curbura gaussiană a varietății: $S$ $\chi (S)$ $K$

\int \limits _{S}K\;d\sigma =2\pi \chi (S),

unde este elementul de suprafață . $d\sigma$ $S$

Există o generalizare a formulei Gauss-Bonnet pentru o varietate bidimensională cu graniță.
Există o generalizare a formulei Gauss-Bonnet la o varietate Riemanniană uniformă , cunoscută ca teorema Gauss-Bonnet-Chern sau formula generalizată Gauss-Bonnet .
Există, de asemenea, un analog discret al teoremei Gauss-Bonnet, care afirmă că caracteristica Euler este egală cu suma defectelor poliedrului împărțită la [2] . $2\pi$
Există analogi combinatori ai formulei Gauss-Bonnet.

Suprafețe orientabile și neorientabile

Caracteristica Euler a unei suprafețe orientabile închise este legată de genul ei g (numărul de mânere , adică numărul de tori din suma conexă reprezentând această suprafață) prin relația

\chi =2-2g.\

Caracteristica Euler a unei suprafețe închise neorientabile este legată de genul său neorientabil k (numărul de planuri proiective din suma conexă reprezentând această suprafață) prin relația

\chi =2-k.\

Valoarea caracteristicii lui Euler

Nume	Vedere	caracteristica lui Euler
Segment de linie		unu
Cerc		0
Un cerc		unu
sferă		2
torus (produsul a două cercuri)		0
dublu torus		−2
triplu tor		−4
Plan proiectiv real		unu
bandă Möbius		0
Sticla Klein		0
Două sfere (deconectate)		2 + 2 = 4
Trei sfere		2 + 2 + 2 = 6

Istorie

În 1752, Euler [3] a publicat o formulă care raportează numărul de fețe ale unui poliedru tridimensional. În lucrarea originală, formula este dată sub formă

S+H=A+2,

unde S este numărul de vârfuri, H este numărul de fețe, A este numărul de muchii.

Mai devreme, această formulă se găsește în manuscrisele lui René Descartes , publicate în secolul al XVIII-lea.

În 1812, Simon Lhuillier a extins această formulă la poliedre cu „găuri” (de exemplu, la corpuri ca o rame). În lucrarea lui Lhuillier, termenul unde este numărul de găuri (" genul suprafeței ") este adăugat în partea dreaptă a formulei lui Euler . Test de rama foto: 16 fețe, 16 vârfuri, 32 de margini, 1 gaură: $(-2g),$ $g$ $16+16=32+2-2\cdot 1.$

În 1899, Poincaré [4] a generalizat această formulă în cazul unui politop N -dimensional:

\sum _{{i=0}}^{{N-1}}{(-1)}^{i}A_{i}=1+{(-1)}^{{N-1}},

unde este numărul de fețe i -dimensionale ale unui poliedru N -dimensional. $A_{i}$

Dacă considerăm poliedrul însuși ca pe propria sa față unică de dimensiune N , formula poate fi scrisă într-o formă mai simplă:

\sum _{{i=0}}^{{N}}{(-1)}^{i}A_{i}=1.

Variații și generalizări

Ecuațiile Dehn-Somerville sunt un set complet de relații liniare pentru numărul de fețe de dimensiuni diferite dintr-un poliedru simplu.

Vezi și

Lista obiectelor numite după Leonhard Euler

Note

↑ Richeson 2008, p. 261
↑ Modelare practică a rețelei poligonale cu teorema discretă Gaussian-Bonnet
↑
L. Euler Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita . Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 4:140-160, 1758. Prezentat Academiei din Sankt Petersburg la 6 aprilie 1752 . Opera Omnia 1(26): 94-108.
- Traducere în engleză: Leonhard Euler Dovada unor proprietăți notabile cu care sunt înzestrate solidele închise de fețe plane . (Tradus de Christopher Francese și David Richeson)
↑ H. Poincaré, Sur la generalisation d'un théorème d'Euler relatif aux polyèdres, Compt. Rupe. Acad. Sci. 117 (1893), 144-145; Oeuvres, voi. XI, 6-7.

Literatură

Dolbilin N. Trei teoreme asupra poliedrelor convexe // Kvant . - 2001. - Nr. 5 . - S. 7-12 .
Lakatos I. Dovezi și respingeri. Cum se demonstrează teoremele / Per. I. N. Veselovsky. - M .: Nauka, 1967.
Shashkin Yu. A. Euler caracteristică . - M . : Nauka, 1984. - T. 58. - ( Prelegeri populare de matematică ).
Școala de vară caracteristică a lui Yu. M. Burman Euler „Matematică modernă”, 2012, Dubna

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)