Caracterizare (algebră)

O caracteristică este o valoare numerică utilizată în algebra generală pentru a descrie anumite proprietăți ale inelelor sau câmpurilor .

Pentru un inel , caracteristica este cel mai mic întreg , astfel încât pentru fiecare element egalitatea este valabilă: $R$ ${\mathhop {{\mathrm {char}}}}R$ $n>0$ $r\în R$

n\cdot r=\underbrace {r+\cdots +r}_{n}=0

iar dacă un astfel de număr nu există, atunci . ${\mathhop {{\mathrm {char}}}}R=0$

Dacă există o unitate în inel , caracteristica poate fi definită ca cel mai mic număr natural diferit de zero astfel încât , dar dacă nu există un astfel de număr, atunci caracteristica este egală cu zero. $R$ $n$ $n\cdot 1=0$ $n$

Caracteristicile inelului de numere întregi , câmpul numerelor raționale , câmpul numerelor reale , câmpul numerelor complexe sunt egale cu zero. Caracteristica inelului rezidual este . Caracteristica câmpului finit , unde este un număr prim, este un întreg pozitiv, este egală cu . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb{Z } /n\mathbb{Z }$ $n$ ${\mathbb {F}}_{{p^{m}}}$ $p$ $m$ $p$

Un inel banal cu un singur element este singurul inel cu caracteristica . $0=1$ $unu$

Dacă un inel non-trivial cu unitate și fără divizori zero are caracteristica pozitivă , atunci este un număr prim. Prin urmare, caracteristica oricărui câmp este fie , fie un număr prim . În primul caz, câmpul conține ca subcâmp un câmp izomorf cu câmpul numerelor raționale , în al doilea caz, câmpul conține ca subcâmp un câmp izomorf cu câmpul de reziduuri . În ambele cazuri, acest subcâmp se numește câmp simplu (conținut de ). $n$ $K$ $0$ $p$ $K$ $\mathbb {Q}$ $K$ $\mathbb {F} _{p}$ $K$

Caracteristica unui câmp finit este întotdeauna pozitivă, dar faptul că caracteristica unui câmp este pozitivă nu înseamnă că câmpul este finit. Ca contraexemple, se poate cita câmpul funcțiilor raționale cu coeficienți în și închiderea algebrică a câmpului . $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}$

Dacă este un inel comutativ de caracteristică primă , atunci pentru toate , . Pentru astfel de inele se poate defini un endomorfism Frobenius . $R$ $p$ $(a+b)^{{p^{n}}}=a^{{p^{n}}}+b^{{p^{n}}}$ $a, b\în R$ $n\în \mathbb {N}$

Literatură

Lidl R., Niederreiter G. Câmpuri finite: În 2 vol. T. 1. Per. din engleza. — M.: Mir, 1988.
Kostrikin A.I. Introducere în algebră. — M.: Nauka, 1977.
Gluhov M. M., Elizarov V. P., Nechaev A. A. Algebră: manual. În 2 vol. T. 2. - M .: Helios ARV, 2003.