Divizor zero

În algebra generală, un element al unui inel se numește [1] : $A$

divizorul zero din stânga dacă există un diferit de zero astfel încât

b

ab=0;

divizor drept al lui zero dacă există un diferit de zero astfel încât

b

ba=0.

În plus, pe tot parcursul acestui articol, inelul este considerat netrivial, adică conține alte elemente decât zero.

Un element care este atât divizor de zero la dreapta cât și la stânga se numește divizor de zero . Dacă înmulțirea într-un inel este comutativă , atunci conceptele de divizor dreapta și stânga sunt aceleași. Un element al unui inel care nu este nici divizor de zero drept, nici stânga se numește element regulat [2] .

Zeroul unui inel se numește divizor de zero impropriu (sau trivial ). În consecință, elementele diferite de zero care sunt divizori de zero sunt numite divizori de zero propriu -zis (netriviali).

Un inel comutativ cu unitate, în care nu există divizori de zero netriviali, se numește domeniu de integritate [3] .

Proprietăți

Dacă nu este un divizor zero la stânga, atunci egalitatea poate fi redusă în mod similar cu un divizor zero la dreapta. În special, în domeniul integrității, reducerea cu un factor diferit de zero este întotdeauna posibilă [3] . $A$ $ab=ac$ $a;$

Mulțimea elementelor regulate ale unui inel comutativ este închisă la înmulțire.

Elementele reversibile ale unui inel nu pot fi divizori de zero [2] . Elementele reversibile ale unui inel sunt adesea numite „divizori ai unu”, astfel încât afirmația anterioară poate fi enunțată diferit: un divizor al lui unu nu poate fi un divizor al lui zero în același timp. De aici rezultă că în orice corp sau câmp pot exista divizori zero [4] .

Într-un inel finit comutativ cu unu, fiecare element diferit de zero este fie inversabil, fie este un divizor zero. Corolar: un inel finit comutativ netrivial fără divizori zero este un câmp (existența unei unități în inel poate fi riguros dovedită).

Un inel ordonat liniar cu o ordine strictă (adică dacă produsul elementelor pozitive este pozitiv) nu conține divizori zero [5] , vezi și exemplul unui inel ordonat cu divizori zero de mai jos.

Un element nilpotent al unui inel este întotdeauna (atât la stânga, cât și la dreapta) un divizor zero. Un element idempotent al inelului, altul decât unul este, de asemenea, un divizor zero, deoarece $c$ $c(1-c)=0.$

Exemple

Inelul de numere întregi nu conține divizori zero netriviali și este un domeniu de integritate .

În inelul resturilor modulo , dacă k nu este coprim cu m , atunci restul lui k este un divizor zero. De exemplu, într-un inel, elementele 2, 3, 4 sunt divizori zero: $\mathbb {Z} _{m}$ $m,$ ${\mathbb Z}_{6}$

2_{6}\cdot 3_{6}=0;\ 4_{6}\cdot 3_{6}=0

Există , de asemenea, divizori zero în inelul matricei de ordinul 2 sau mai mult, de exemplu:

{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\ sfârșit{pmatrix}}

Deoarece determinantul unui produs este egal cu produsul determinanților factorilor, un produs matricial este o matrice zero doar dacă determinantul a cel puțin unuia dintre factori este zero. În ciuda necomutativității înmulțirii matricei, conceptele de divizori de zero stânga și dreapta din acest inel coincid; toți divizorii zero sunt matrici degenerate cu determinant zero.

Un exemplu de inel ordonat cu divizori zero: dacă în grupul aditiv de numere întregi punem toate produsele egale cu zero, atunci obținem un inel ordonat în care orice element este divizor de zero (unul nu este atunci un element neutru pentru înmulțire, deci se obţine un inel fără unul) [6 ] [7] .

Note

↑ Van der Waerden. Algebra, 1975 , p. 51.
↑ 1 2 Zarissky, Samuel, 1963 , p. 19.
↑ 1 2 Van der Waerden. Algebra, 1975 , p. 52.
↑ Van der Waerden. Algebra, 1975 , p. 55.
↑ Nechaev, 1975 , p. 90.
↑ Bourbaki N. Algebra. Structuri algebrice. Algebră liniară. - M. : Nauka, 1962. - S. 137. - 517 p.
↑ Bourbaki N. Algebra. Polinoame și câmpuri. Grupuri ordonate. - M. : Nauka, 1965. - S. 272. - 299 p.

Literatură

Van der Waerden . Algebră. Definiții, teoreme, formule. - M . : Mir, 1975. - 649 p.
- Reeditare: Sankt Petersburg: Lan, 2004, ISBN 5-8114-0552-9 , 624 p.
Zarissky O., Samuel P. Algebra comutativă . - M. : IL, 1963. - T. 1. - 370 p.
Nechaev V. I. Sisteme numerice. - M . : Educaţie, 1975. - 199 p.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Zero Divisor (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .