Caracter (teoria numerelor)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 10 decembrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Un caracter (sau caracter numeric , sau caracter Dirichlet ) este o funcție aritmetică definită care apare din caractere complet multiplicative pe elemente inversabile . Caracterele Dirichlet sunt folosite pentru a defini funcțiile L Dirichlet , care sunt funcții meromorfe cu multe proprietăți analitice interesante. Dacă este un caracter Dirichlet, seria sa L -Dirichlet este definită de egalitate $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$ $\chi$

L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s)))

unde s este un număr complex cu parte reală > 1. Prin continuare analitică , această funcție poate fi extinsă la o funcție meromorfă pe întregul plan complex . Funcțiile L Dirichlet sunt o generalizare a funcției zeta Riemann și apar proeminent în ipotezele Riemann generalizate .

Personajele lui Dirichlet poartă numele lui Peter Gustav Lejeune Dirichlet .

Definiție axiomatică

Un caracter Dirichlet este orice funcție din mulțimea numerelor întregi cu valori complexe care are următoarele proprietăți [1] : $\chi$ $\mathbb {Z}$

Există un întreg pozitiv k astfel încât pentru orice n . $\chi (n)=\chi (n+k)$
Dacă n şi k nu sunt relativ primi , atunci ; dacă sunt coprime, . $\chi (n)=0$ $\chi (n)\neq 0$
$\chi (mn)=\chi (m)\chi (n)$ pentru orice numere întregi m și n .

Din această definiție pot fi deduse alte proprietăți. Conform proprietății 3) . Deoarece mcd (1, k ) = 1, proprietatea 2) spune că , deci $\chi (1)=\chi (1\times 1)=\chi (1)\chi (1)$ $\chi (1)\neq 0$

$\chi(1)=1$ .

Proprietățile 3) și 4) arată că orice caracter Dirichlet este un caracter complet multiplicativ . $\chi$

Proprietatea 1) spune că caracterul este o funcție periodică cu perioada k . Spunem că este un caracter modulo k . Acest lucru este echivalent cu a spune asta $\chi$

daca , atunci . $a\equiv b{\pmod {k)}$ $\chi (a)=\chi (b)$

Dacă mcd( a , k ) = 1, teorema lui Euler afirmă că (unde este funcția Euler ). Astfel, conform proprietăților 5) și 4), , și conform proprietății 3) . Prin urmare, $a^{\varphi (k)}\equiv 1{\pmod {k)}$ $\varphi(k)$ $\chi (a^{\varphi (k)})=\chi (1)=1$ $\chi (a^{\varphi (k)})=\chi (a)^{\varphi (k))$

Pentru toate un coprim la k este rădăcina complexă a unității , $\chi(a)$ $\varphi(k)$

adică pentru un număr întreg . $e^{2ri\pi /\varphi (k))$ $0\leqslant r<\varphi (k)$

Singurul caracter cu punctul 1 se numește caracter trivial . Rețineți că orice caracter dispare la 0, cu excepția celui banal, care este 1 pentru toate numerele întregi.

Un caracter care ia valoarea 1 pe toate numerele coprime cu care se numește principal : $k$ $\chi _{0}(n)=\left\{{\begin{array}{ll}1,&{\text{gcd}}(n,\;k)=1;\\0, &{\text{gcd}}(n,\;k)\neq 1.\end{array}}\right.$ [2] .
- În grupul de caractere modulo , el joacă rolul unei unități. $k$

Un personaj se numește real dacă ia doar valori reale. Un personaj care nu este real se numește complex [3]

Semnul caracterului depinde de valoarea acestuia în punctul −1. Ei spun că ciudat dacă , și chiar dacă . $\chi$ $\chi$ $\chi (-1)=-1$ $\chi (-1)=1$

Construcție prin clase de reziduuri

Caracterele Dirichlet pot fi considerate în termenii grupului de caractere al grupului de elemente inversabile ale unui inel ca caractere extinse ale claselor de reziduuri [4] . $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$

Clase de reziduuri

Având în vedere un număr întreg k , se poate defini clasa de reziduuri a unui număr întreg n ca mulțime a tuturor numerelor întregi congruente cu n modulo k : Adică , clasa de reziduuri este setul lui n în inelul coeficient . ${\hat {n}}=\{m\mid m\equiv n{\pmod {k}}\}.$ $\hat{n}$ $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$

Mulțimea elementelor inversabile modulo k formează un grup abelian de ordin , unde înmulțirea în grup este dată de egalitate și, din nou, înseamnă funcția Euler . Unitatea din acest grup este clasa de reziduuri , iar elementul invers pentru este clasa de reziduuri , unde , adică . De exemplu, pentru k = 6, mulțimea elementelor inversabile este , deoarece 0, 2, 3 și 4 nu sunt coprime cu 6. $\varphi(k)$ ${\widehat {mn}}={\pălărie {m}}{\pălărie {n}}$ $\varphi$ ${\pălărie {1}}$ ${\pălărie {m)}$ $\hat{n}$ ${\pălărie {m}}{\pălărie {n}}={\pălărie {1}}$ $mn\equiv 1{\pmod {k)}$ $\{{\pălărie {1}),{\pălărie {5}}\}$

Grupul de caractere este format din caracterele claselor de reziduuri . Natura clasei de reziduuri on este primitivă dacă nu există un divizor propriu d pentru k astfel încât să fie factorizat ca [5] . $(\mathbb {Z} /k)^{*}$ $\theta$ $(\mathbb {Z} /k)^{*}$ $\theta$ $(\mathbb {Z} /k)^{*}\la (\mathbb {Z} /d)^{*}\la \mathbb {C} ^{*}$

Personajele lui Dirichlet

Definiția unui caracter Dirichlet modulo k asigură că acesta este restrâns la caracterul al grupului de elemente inversabile modulo k [6] : grupul de homomorfisme de la numere complexe non-nule $\chi$ $(\mathbb {Z} /k)^{*}$

\chi :(\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}\la \mathbb {C} ^{*}

cu valori care sunt în mod necesar rădăcini ale unității, deoarece elementele inversabile modulo k formează un grup finit. În direcția opusă, având în vedere un grup de homomorfism pe grupul de elemente inversabile modulo k , putem ridica la o funcție complet multiplicativă pe numere întregi coprime la k , și apoi extindem această funcție la toate numerele întregi prin atribuirea valorii 0 pe toate numerele întregi care au divizori netriviali în comun cu k . Funcția rezultată va fi apoi un caracter Dirichlet [7] . $\chi$

Caracterul principal modulo k are proprietățile [7] $\chi _{1)$

\chi _{1}(n)=1

pentru mcd( n , k ) = 1 și

\chi _{1}(n)=0

pentru mcd( n , k ) > 1.

Caracterul asociat unui grup multiplicativ este caracterul principal , care ia întotdeauna valoarea 1 [8] . $(\mathbb {Z} /k)^{*}$

Când k este 1, caracterul principal modulo k este 1 pe toate numerele întregi. Pentru k mai mare de 1, caracterele principale modulo k dispar la numere întregi care au factori comuni non-zero cu k și egale cu 1 la alte numere întregi.

Există caractere Dirichlet modulo n [7] . $\varphi (n)$

Exemple

Pentru orice modul impar , simbolul Jacobi este un modul de caractere . $k$ ${\ displaystyle \ stânga ({\ frac {n} {k)} \ dreapta)}$ $k$
Reziduul de putere de un grad mai mare de 2 este un caracter nereal.

Unele tabele de caractere

Tabelele de mai jos ajută la ilustrarea naturii personajelor lui Dirichlet. Ele reprezintă caracterele modulo 1 până la 10. Caracterele sunt personajele principale. $\chi _{1)$

Modulul 1

Există un caracter modulo 1: $\varphi(1)=1$

$\chi \setminus n$	0
$\chi _{1}(n)$	unu

Acesta este un personaj banal.

Modulul 2

Există un caracter modulo 2: $\varphi (2)=1$

$\chi \setminus n$	0	unu
$\chi _{1}(n)$	0	unu

Rețineți că este complet determinat de valoarea lui , deoarece 1 generează un grup de elemente inversabile modulo 2. $\chi$ $\chi (1)$

Modulul 3

Există un caracter modulo 3: $\varphi (3)=2$

$\chi \setminus n$	unu	2
$\chi _{1}(n)$	unu	unu
$\chi _{2}(n)$	unu	−1

Rețineți că este complet determinat de valoarea lui , deoarece 2 generează un grup de elemente inversabile modulo 3. $\chi$ $\chi (2)$

Modulul 4

Există un caracter modulo 4: $\varphi (4)=2$

$\chi \setminus n$	unu	2	3
$\chi _{1}(n)$	unu	0	unu
$\chi _{2}(n)$	unu	0	−1

Rețineți că este complet determinat de valoarea lui , deoarece 3 generează un grup de elemente inversabile modulo 4. $\chi$ $\chi (3)$

Seria L -Dirichlet pentru egal cu funcția lambda Dirichlet (strâns legată de funcția Dirichlet eta ) $\chi _{1}(n)$

L(\chi _{1},s)=(1-2^{-s})\zeta (s)

unde este funcția zeta Riemann. Seria L pentru este funcția beta Dirichlet $\zeta (s)$ $\chi _{2}(n)$

L(\chi _{2},s)=\beta (s).\,

Modulul 5

Există caractere modulo 5. În tabele, i este rădăcina pătrată a lui . $\varphi (5)=4$ $-unu$

$\chi \setminus n$	unu	2	3	patru
$\chi _{1}(n)$	unu	unu	unu	unu
$\chi _{2}(n)$	unu	i	−i	−1
$\chi _{3}(n)$	unu	−1	−1	unu
$\chi _{4}(n)$	unu	− i	i	−1

Rețineți că valoarea este complet determinată , deoarece 2 generează un grup de elemente inversabile modulo 5. $\chi$ $\chi (2)$

Modulul 6

Există caractere modulo 6: $\varphi(6)=2$

$\chi \setminus n$	unu	2	3	patru	5
$\chi _{1}(n)$	unu	0	0	0	unu
$\chi _{2}(n)$	unu	0	0	0	−1

Rețineți că este complet determinat de valoarea lui , deoarece 5 generează un grup de elemente inversabile modulo 6. $\chi$ $\chi (5)$

Modulul 7

Există caractere modulo 7. Tabelul de mai jos $\varphi (7)=6$ $\omega =\exp(\pi i/3).$

$\chi \setminus n$	unu	2	3	patru	5	6
$\chi _{1}(n)$	unu	unu	unu	unu	unu	unu
$\chi _{2}(n)$	unu	$\omega ^{2}$	$\omega$	$-\omega$	$-\omega ^{2}$	−1
$\chi _{3}(n)$	unu	− $\omega$	$\omega ^{2}$	$\omega ^{2}$	$-\omega$	unu
$\chi _{4}(n)$	unu	unu	−1	unu	−1	−1
$\chi _{5}(n)$	unu	$\omega ^{2}$	$-\omega$	$-\omega$	$\omega ^{2}$	unu
$\chi _{6}(n)$	unu	$-\omega$	$-\omega ^{2}$	$\omega ^{2}$	$\omega$	−1

Rețineți că este complet determinat de valoarea lui , deoarece 3 generează un grup de elemente inversabile modulo 7. $\chi$ $\chi (3)$

Modulul 8

Există caractere modulo 8. $\varphi (8)=4$

$\chi \setminus n$	unu	2	3	patru	5	6	7
$\chi _{1}(n)$	unu	0	unu	0	unu	0	unu
$\chi _{2}(n)$	unu	0	unu	0	−1	0	−1
$\chi _{3}(n)$	unu	0	−1	0	unu	0	−1
$\chi _{4}(n)$	unu	0	−1	0	−1	0	unu

Rețineți că este complet determinat de valorile lui și , deoarece 3 și 5 generează un grup de elemente inversabile modulo 8. $\chi$ $\chi (3)$ $\chi (5)$

Modulul 9

Există caractere modulo 9. Tabelul de mai jos $\varphi (9)=6$ $\omega =\exp(\pi i/3).$

$\chi \setminus n$	unu	2	3	patru	5	6	7	opt
$\chi _{1}(n)$	unu	unu	0	unu	unu	0	unu	unu
$\chi _{2}(n)$	unu	$\omega$	0	$\omega ^{2}$	$-\omega ^{2}$	0	$-\omega$	−1
$\chi _{3}(n)$	unu	$\omega ^{2}$	0	$-\omega$	$\omega$	0	$\omega ^{2}$	unu
$\chi _{4}(n)$	unu	−1	0	unu	−1	0	unu	−1
$\chi _{5}(n)$	unu	$-\omega$	0	$\omega ^{2}$	$\omega ^{2}$	0	$-\omega$	unu
$\chi _{6}(n)$	unu	$-\omega ^{2}$	0	$-\omega$	$\omega$	0	$\omega ^{2}$	−1

Rețineți că este complet determinat de valoarea lui , deoarece 2 generează un grup de elemente inversabile modulo 9. $\chi$ $\chi (2)$

Modulul 10

Există caractere modulo 10. $\varphi (10)=4$

$\chi \setminus n$	unu	2	3	patru	5	6	7	opt	9
$\chi _{1}(n)$	unu	0	unu	0	0	0	unu	0	unu
$\chi _{2}(n)$	unu	0	i	0	0	0	− i	0	−1
$\chi _{3}(n)$	unu	0	−1	0	0	0	−1	0	unu
$\chi _{4}(n)$	unu	0	− i	0	0	0	i	0	−1

Rețineți că este complet determinat de valoarea lui , deoarece 3 generează un grup de elemente inversabile modulo 10. $\chi$ $\chi (3)$

Exemple

Dacă p este un număr prim impar , atunci funcția

\chi (n)=\left({\frac {n}{p}}\right),\

unde este simbolul Legendre , este un caracter Dirichlet primitiv modulo p [9] .

\stanga({\frac {n}{p}}\dreapta)

Mai general, dacă m este un număr impar pozitiv, funcția

\chi (n)=\left({\frac {n}{m}}\dreapta),\

unde este simbolul Jacobi , este caracterul Dirichlet modulo m [9] .

\stanga({\frac {n}{m}}\dreapta)

Acestea sunt caractere pătratice - în cazul general, caracterele pătratice primitive apar exact din simbolul Kronecker-Jacobi [10] .

Personaje primitive și dirijor

La trecerea de la resturile modulo N la resturile modulo M , pentru orice factor M al lui N , informația se pierde. Efectul caracterului Dirichlet dă rezultatul opus - dacă este un caracter modulo M , acesta induce un caracter modulo N pentru orice N multiplu al lui M . Un caracter este primitiv dacă nu este indus de niciun caracter modulo less [3] . $\chi *$ $\chi *$

Dacă este un caracter modulo n și d divide n , spunem că modulul d este modulul indus pentru dacă pentru toate un coprim la n și 1 mod d [11] : caracterul este primitiv dacă nu există un modul indus mai mic [12] ] . $\chi$ $\chi$ $\chi (a)=1$

Putem oficializa acest lucru în diferite moduri prin definirea caracterelor și la fel de consistent dacă pentru un modul N , astfel încât N 1 și N 2 împart ambele N , avem pentru toți n coprime la N , adică există un caracter generat ca , deci și . Aceasta este o relație de echivalență pe caractere. Caracterul cu cel mai mic modul dintr-o clasă de echivalență este primitiv, iar acel cel mai mic modul este conductorul caracterelor din clasă. $\chi _{1}\mod N_{1)$ $\chi _{2}\mod N_{2)$ $\chi _{1}(n)=\chi _{2}(n)$ $\chi *$ $\chi _{1)$ $\chi _{2)$

Neprimitivitatea caracterelor poate duce la absența multiplicatorilor Euler în funcțiile lor L.

Ortogonalitatea caracterelor

Ortogonalitatea caracterelor unui grup finit se transferă la caracterele Dirichlet [13] .

Dacă fixăm un caracter modulo n , atunci $\chi$

\sum _{a{\bmod {n}}}\chi (a)=0

dacă nu personajul principal, în caz contrar suma este . $\chi$ $\varphi (n)$

În mod similar, dacă fixăm o clasă de reziduuri a modulo n , atunci suma tuturor caracterelor dă

\sum _{\chi }\chi (a)=0

cu excepția cazului a =1, când suma este . $\varphi (n)$

Prin urmare, concluzionăm că orice funcție periodică cu perioada n peste clasa de reziduuri coprime la n este o combinație liniară de caractere Dirichlet [14] .

Istorie

Caracterele lui Dirichlet, împreună cu seria lor, au fost introduse de către Dirichlet în 1831, ca parte a demonstrației teoremei lui Dirichlet asupra infinitității numărului de numere prime în progresiile aritmetice. Le-a studiat doar pentru și în principal atunci când tinde spre 1. Extinderea acestor funcții la întregul plan complex a fost obținută de Riemann în 1859. $L$ $s\in \mathbb {R}$ $s$

Vezi și

Personajul Gekke
Suma caracterelor
suma Gauss
Rădăcina primitivă modulo n
clasa Selberg

Note

↑ Montgomery, Vaughan, 2007 , p. 117-8.
↑ Montgomery, Vaughan, 2007 , p. 115.
↑ 1 2 Montgomery, Vaughan, 2007 , p. 123.
↑ Fröhlich și Taylor 1991 , p. 218.
↑ Fröhlich și Taylor 1991 , p. 215.
↑ Apostol, 1976 , p. 139.
↑ 1 2 3 Apostol, 1976 , p. 138.
↑ Apostol, 1976 , p. 134.
↑ 1 2 Montgomery, Vaughan, 2007 , p. 295.
↑ Montgomery, Vaughan, 2007 , p. 296.
↑ Apostol, 1976 , p. 166.
↑ Apostol, 1976 , p. 168.
↑ Apostol, 1976 , p. 140.
↑ Davenport, 1967 , p. 31–32.

Literatură

ApostolTM Introducere în teoria analitică a numerelor. - New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. - (Texte de licență în matematică). — ISBN 978-0-387-90163-3 .
Apostol TM Câteva proprietăți ale funcțiilor aritmetice complet multiplicative // The American Mathematical Monthly. - 1971. - T. 78 , nr. 3 . — S. 266–271 . - doi : 10.2307/2317522 . — .
Harold Davenport. teoria numerelor multiplicative. - Chicago: Markham, 1967. - Vol. 1. - (Prelegeri de matematică avansată).
- Davenport G. Teoria numerelor multiplicative. - M. : „Nauka”, 1971.
Helmut Hasse. Vorlesungen über Zahlentheorie. - a 2-a revizuire. — Springer-Verlag . - V. 59. - (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen). vezi capitolul 13.
- Hasse G. Prelegeri despre teoria numerelor. - M . : Literatură străină, 1953.
Mathar, RJ (2010), Table of Dirichlet L-series and prime zeta modulo functions for small modules, arΧiv : 1008.2547 [math.NT].
Hugh L Montgomery, Robert C. Vaughan. teoria numerelor multiplicative. I. Teoria clasică. - Cambridge University Press , 2007. - V. 97. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). - ISBN 0-521-84903-9 .
- Montgomery G. Teoria numerelor multiplicative. - M. : „Mir”, 1974.
Robert Spira. Calculul funcțiilor L-Dirichlet // Matematica calculului. - 1969. - T. 23 , nr. 107 . — S. 489–497 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1969-0247742-X .
Fröhlich A., Taylor MJ Teoria algebrică a numerelor. - Cambridge University Press , 1991. - V. 27. - (Cambridge studies in advanced mathematics). — ISBN 0-521-36664-X .

Literatură

Galochkin A. I., Nesterenko Yu. V., Shidlovsky A. B. Introducere în teoria numerelor. - M.: Editura Universității din Moscova, 1984.
Karatsuba A. A. Fundamentele teoriei analitice a numerelor. - Ed. a 3-a. — M.: URSS, 2004.

Caractere în teoria numerelor și în teoria grupurilor
Caractere cuadratice	Simbol al lui Legendre Simbolul Jacobi Simbolul Kronecker - Jacobi
Caracterele reziduurilor de putere	Natura reziduului cubic Natura reziduului biquadratic Simbol de reziduuri de putere