Ipotezele Riemann generalizate

Ipoteza Riemann este una dintre cele mai importante ipoteze din matematică . O presupunere este o afirmație despre zerourile funcției zeta Riemann . Diverse obiecte geometrice și aritmetice pot fi descrise prin așa-numitele L-funcții globale , care sunt similare formal cu funcția zeta Riemann. Atunci se poate pune aceeași întrebare despre rădăcinile acestor L -funcții, ceea ce oferă diferite generalizări ale ipotezei Riemann. Mulți matematicieni cred că aceste generalizări ale Ipotezei Riemann sunt corecte . Singurul caz în care s-a dovedit o astfel de presupunere a fost în domeniul algebric al funcțiilor (nu și în cazul câmpului numerelor).

Funcțiile L globale pot fi asociate cu curbe eliptice , câmpuri numerice (caz în care sunt numite funcții zeta Dedekind ), forme parabolice Maass și caractere Dirichlet (caz în care sunt numite L-funcții Dirichlet ). Când ipoteza Riemann este formulată pentru funcțiile zeta Dedekind , se numește ipoteza Riemann extinsă (RHR), iar atunci când este formulată pentru funcțiile L Dirichlet , este cunoscută ca ipoteza Riemann generalizată (GRH). Aceste două afirmații sunt discutate mai detaliat mai jos. Mulți matematicieni folosesc denumirea de ipoteză Riemann generalizată pentru a extinde ipoteza Riemann la toate funcțiile L globale , nu doar cazul special al funcțiilor L Dirichlet .

Ipoteza Riemann generalizată (GRE)

Ipoteza Riemann generalizată (pentru funcțiile L Dirichlet ) a fost formulată aparent pentru prima dată de Adolf Piltz în 1884 [1] . Ca și ipoteza originală Riemann, ipoteza generalizată are consecințe de amploare pentru distribuția numerelor prime .

Enunțul formal al ipotezei . Un caracter Dirichlet este o funcție aritmetică complet multiplicativă χ astfel încât există un număr întreg pozitiv k cu χ( n + k ) = χ( n ) pentru toți n și χ( n ) = 0 dacă mcd( n , k ) > 1. Având în vedere un astfel de caracter, definim funcția L Dirichlet corespunzătoare

L(\chi,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s)))

pentru orice număr complex s cu parte reală > 1. Folosind continuarea analitică , această funcție poate fi extinsă la o funcție meromorfă definită pe întregul plan complex. Ipoteza Riemann generalizată afirmă că pentru orice caracter Dirichlet χ și orice număr complex s cu L(χ, s ) = 0, dacă un număr real s este între 0 și 1, atunci este, de fapt, egal cu 1/2.

Cazul χ( n ) = 1 pentru tot n dă ipoteza Riemann obișnuită.

Consecințele OGR

Teorema lui Dirichlet afirmă că atunci când a și d sunt numere naturale coprime , atunci progresia aritmetică a , a + d , a +2 d , a +3 d , ... conține infinit de numere prime. Fie π( x , a , d ) să desemneze numărul de prime din progresie care sunt mai mici sau egale cu x . Dacă ipoteza Riemann generalizată este adevărată, atunci pentru orice coprim a și d și orice ε > 0

\pi (x,a,d)={\frac {1}{\varphi (d)}}\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\ ,dt+O(x^{1/2+\epsilon })

la ,

x\la \infty

unde φ( d ) este funcția Euler și este „O” mare . Aceasta este o întărire semnificativă a teoremei distribuției numerelor prime . $O$

Dacă OGR este adevărată, atunci orice subgrup propriu al unui grup multiplicativ nu conține un număr mai mic decât 2(ln n ) 2 , precum și numere relativ prime la n și mai mici decât 3(ln n ) 2 [2] . Cu alte cuvinte, generat de o mulțime de numere mai mici decât 2(ln n ) 2 . Acest fapt este adesea folosit în dovezi și multe corolare rezultă din el, de exemplu (presupunând că GRE este adevărat): $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times )$ $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times )$

Testul Miller-Rabin este garantat să ruleze în timp polinomial (Un test în timp polinomial care nu necesită un ORT, testul Agrawal-Kayal-Saxena , a fost publicat în 2002).
Algoritmul Gelfond-Shanks este garantat să ruleze în timp polinomial.
Algoritmul determinist Ivanuos-Karpinski-Sahen [3] pentru extinderea polinoamelor pe câmpuri finite cu gradul prim n și neted n - 1 rulează în timp polinomial.

Dacă GRE este adevărată, atunci pentru orice prim p există o rădăcină primitivă modulo p (generator al grupului multiplicativ de numere întregi modulo p ) mai mică decât [4] . $O((\ln p)^{6}).\,$

Din ipoteza generalizată Riemann rezultă și conjectura slabă de Goldbach . Dovada lui Harald Helfgott a acestei presupuneri confirmă GDE pentru câteva mii de caractere mici, ceea ce a făcut posibilă demonstrarea presupunerii pentru toate numerele întregi (impare) mai mari decât 10 29 . Pentru numerele întregi sub această limită, ipoteza a fost testată prin forță brută [5] .

Presupunând că GDE este corectă, estimarea pentru suma caracterelor din inegalitatea Polya–Vinogradov poate fi îmbunătățită la , unde q este valoarea absolută a caracterului. $O\left({\sqrt {q}}\log \log q\right)$

Ipoteza Riemann extinsă (RHR)

Fie K un câmp numeric (o extensie finită- dimensională a câmpului numerelor raționale Q ) cu un inel de numere întregi O K (acest inel este închiderea numerelor întregi Z în K ). Dacă a este un ideal al inelului O K altul decât idealul zero, notăm norma sa cu Na . Funcția zeta Dedekind peste K este apoi definită ca

\zeta _{K}(s)=\sum _{a}{\frac {1}{(Na)^{s)))

pentru orice număr complex s cu parte reală > 1.

Funcția zeta Dedekind satisface o ecuație funcțională și poate fi extinsă prin continuare analitică la întregul plan complex . Funcția rezultată codifică informații importante despre câmpul numeric K . Ipoteza Riemann extinsă afirmă că pentru orice câmp numeric K și orice număr complex s pentru care ζ K ( s ) = 0, dacă partea reală a numărului s se află între 0 și 1, atunci este, de fapt, egală cu 1 / 2.

Conjectura originală Riemann rezultă din conjectura extinsă dacă luăm un câmp numeric Q cu un inel de numere întregi Z .

O versiune eficientă [6] a teoremei densității lui Chebotarev rezultă din RGR : dacă L / K este o extensie Galois finită cu un grup Galois G , iar C este uniunea claselor lui G , numărul primelor neramificate idealurile K cu o normă sub x c setul Frobenius în C este

{\frac {|C|}{|G|}}{\Bigl (}\mathrm {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x))(n\log x+\ jurnal |\Delta |){\bigr )}{\Bigr )},

unde constanta în notația mare O este absolută, n este puterea lui L peste Q și Δ este discriminantul său.

Vezi și

Ipoteza lui Artin
Funcția L Dirichlet
clasa Selberg
Ipoteza Grand Riemann

Note

↑ Davenport, 2000 , p. 124.
↑ Bach, 1990 , p. 355–380.
↑ Ivanyos, Karpinski, Saxena, 2009 , p. 191–198.
↑ Shoup, 1992 , p. 369–380.
↑ Helfgott, 2013 .
↑ Lagarias, Odlyzko, 1977 , p. 409–464.

Literatură

Lagarias JC, Odlyzko AM Versiuni eficiente ale teoremei Chebotarev // Câmpuri numerice algebrice. - 1977. - S. 409-464 .
Eric Bach. Limite explicite pentru testarea primarității și problemele conexe // Matematica calculului . - 1990. - T. 55 , nr. 191 . — S. 355–380 . - doi : 10.2307/2008811 . — .
Gabor Ivanyos, Marek Karpinski, Nitin Saxena. Scheme pentru factorizarea polinomială deterministă // Proc. ISAAC. - 2009. - S. 191-198 . — ISBN 9781605586090 . - doi : 10.1145/1576702.1576730 .
Helfgott HA Arcele majore pentru teorema lui Goldbach . - 2013. - arXiv : 1305.2897v3 .
Victor Shop. Căutarea rădăcinilor primitive în câmpuri finite // Mathematics of Computation. - 1992. - Vol. 58. - Problema. 197 . — S. 369–380 . - doi : 10.2307/2153041 . — .
Harold Davenport. teoria numerelor multiplicative. - Ediția a treia, revizuită și cu o prefață de Hugh L. Montgomery . - New York: Springer-Verlag, 2000. - T. 74. - P. xiv + 177. — (Texte de absolvire în matematică). — ISBN 0-387-95097-4 .

Lectură pentru lecturi suplimentare

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Ipoteza Riemann, generalizată , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

L -funcţiile în teoria numerelor
Exemple analitice	Funcția zeta Riemann L -Funcţiile Dirichlet L -funcțiile caracterelor Hecke Funcții L automorfe clasa Selberg
Exemple algebrice	Funcții zeta Dedekind Artin L -functii Hasse-Weyl L -funcții Motive L -functions
Teoreme	Formula analitică pentru numărul de clase Formula Riemann-von Mangoldt ipotezele lui Weil
Ipoteze analitice	Ipoteza Riemann Ipotezele Riemann generalizate Ipoteza Lindelöf Ipoteza Ramanujan Ipoteza lui Artin
Conjecturi algebrice	Ipoteza Birch-Swinnerton-Dyer Conjectura lui Deligne Ipotezele lui Beilinson Conjectura Bloch-Kato Ipoteza Langlands
p - adic L -functions	Ipoteza principală a teoriei Iwasawa Selmer Group Sistemul Euler