Circulația câmpului vectorial

Circulația unui câmp vectorial de -a lungul unui contur închis dat Γ este o integrală curbilinie de al doilea fel, preluată Γ . Prin definitie

C=\oint \limits _{\Gamma }{\mathbf {F} d\mathbf {l} }=\oint \limits _{\Gamma }{(F_{x}dx+F_{y}dy +F_{z}dz)},

unde este un câmp vectorial (sau funcție vectorială) definit într-un domeniu D care conține conturul Γ , este o creștere infinitezimală a vectorului rază de-a lungul conturului. Cercul de pe simbolul integral subliniază faptul că integrarea se realizează de-a lungul unui contur închis. Definiția de mai sus este valabilă pentru cazul tridimensional, dar, ca și principalele proprietăți enumerate mai jos, poate fi generalizată direct la o dimensiune spațială arbitrară. ${\mathbf {F}}=\{F_{{x}},F_{{y}},F_{{z}}\}$ $d{\mathbf {l}}=\{dx,dy,dz\}$ ${\mathbf {l}}$

Proprietăți de circulație

Aditivitate

Circulația de-a lungul conturului care delimitează mai multe suprafețe adiacente este egală cu suma circulațiilor de-a lungul contururilor care delimitează fiecare suprafață separat, adică

C=\sum \limits _{{i}}{C_{{i}}}.

Formula Stokes

Circulația vectorului F de-a lungul unui contur arbitrar Г este egală cu fluxul vectorial printr-o suprafață arbitrară S , delimitată de acest contur. $\operatorname {rot}{\mathbf {F}}$

\oint \limits _{{\Gamma }}{{\mathbf {F}}d{\mathbf {l}}=\iint \limits _{{S}}{\operatorname {rot}}}{\mathbf { F}}\cdot {\mathbf {n}}dS,

unde este rotorul (vortexul) vectorului F . $\operatorname {rot}{\mathbf {F}}=[\nabla ,{\mathbf {F}}]=\left|{\begin{matrix}{\mathbf {e}}_{{x}}&{ \mathbf {e}}_{{y}}&{\mathbf {e}}_{{z}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{ \partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{{x}}&F_{{y}}&F_{{z}}\\\end{matrix}}\right|$

Dacă conturul este plat, de exemplu, se află în planul OXY, teorema lui Green este valabilă

\oint \limits _{\Gamma }{(F_{x}dx+F_{y}dy)}=\iint \limits _{\Gamma ^{\circ }}{\left({\frac { \partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)dxdy},

unde este planul delimitat de contur (interiorul conturului). $\Gamma ^{\circ }$ $\Gamma$

Interpretare fizică

Dacă F este un câmp de forță , atunci circulația acestui câmp de-a lungul unui contur arbitrar Γ este opera acestui câmp atunci când punctul se mișcă de-a lungul conturului Г. De aici urmează direct criteriul potențialității câmpului : câmpul este potențial atunci când circulația lui de-a lungul unui contur închis arbitrar este zero. Sau, după cum urmează din formula Stokes, în orice punct al regiunii D rotorul acestui câmp este zero.

\forall \Gamma \subset D:\oint \limits _({\Gamma }}{{\mathbf {F}}({\mathbf {r}})d{\mathbf {l}}}=0\Leftrightarrow \ forall {\mathbf {r}}\in D:\operatorname {rot}{\mathbf {F}}({\mathbf {r}})={\mathbf {0}}.

Context istoric

Termenul „circulație” a fost introdus inițial în hidrodinamică pentru a calcula mișcarea unui fluid printr-un canal închis. Luați în considerare fluxul unui fluid incompresibil ideal. Alegem un contur arbitrar Γ . Imaginează-ți mental că am înghețat (instantaneu) tot lichidul din volum, cu excepția unui canal subțire de secțiune transversală constantă, care include conturul Γ . Apoi, în funcție de natura inițială a fluxului de fluid, acesta fie va fi staționar în canal, fie se va deplasa de-a lungul conturului (circula). Ca o caracteristică a unei astfel de mișcări, se ia o valoare egală cu produsul dintre viteza medie a fluidului prin canal și lungimea conturului l : $u$

C=ul

întrucât este viteza care se va stabili în cele din urmă în acest caz peste tot în canal, iar valoarea de circulație C va da un impuls (generalizat) pentru un lichid de densitate unitară, conjugat la o coordonată (generalizată) care caracterizează poziția lichidului. în ansamblu în canal, corespunzând, oarecum simplificator, poziției unui singur „granule de praf” într-un lichid, măsurat printr-o riglă curbată de-a lungul unui canal. $u$

Deoarece, în timpul solidificării pereților canalului, componenta de viteză normală conturului se va stinge (ne imaginăm că acest lucru se întâmplă înainte ca viteza tangențială în canal să devină aceeași peste tot din cauza incompresibilității lichidului), lichidul se va deplasa. de-a lungul canalului imediat după solidificare cu componenta tangenţială a vitezei iniţiale . Atunci circulația poate fi reprezentată ca $v_{{\tau}}$

C=\oint \limits _{{\Gamma }}{v_{{\tau }}dl}=\oint \limits _{{\Gamma }}{{\mathbf {v}}d{\mathbf {l} }},

unde dl este elementul de lungime a conturului.

Mai târziu, conceptul de „circulație” a fost extins la orice câmpuri vectoriale, chiar și la acelea în care literalmente nu există nimic de „circulat”.

Literatură

Fikhtengol's G. M. Curs de calcul diferențial și integral. T.3. M.: „Nauka”, 1960.
Savelev IV Curs de fizică generală . T2. M.: Astrel • AST, 2004.