Geometrie parțială

Să existe o structură de incidență formată din puncte , linii și steaguri . Se spune că un punct este incident unei linii dacă . O structură se numește geometrie parțială finită dacă există numere întregi astfel încât: $C=(P,L,I)$ $P$ $L$ $I\subseteq P\time L$ $p$ $l$ $(p,l)\în I$ $s,t,\alpha \geq 1$

Pentru orice pereche de puncte diferite și există cel mult o linie incidentă la ambele puncte. $p$ $q$
Fiecare linie este incidentă la un punct. $s+1$
Fiecare punct este incident cu linii. $t+1$
Dacă un punct și o dreaptă nu sunt incidente, atunci există exact perechi care sunt incidente cu și incidente cu . $p$ $l$ $\alfa$ $(q,m)\în I$ $p$ $m$ $q$ $l$

Geometria parțială cu acești parametri se notează cu . $pg(s,t,\alpha )$

Proprietăți

Numărul de puncte este dat de formulă , iar numărul de linii este dat de formula . ${\frac {(s+1)(st+\alpha )}{\alpha }}$ ${\frac {(t+1)(st+\alpha )}{\alpha ))$
Graficul punctual [1] al structurii este un grafic puternic regulat : . $pg(s,t,\alpha )$ $srg((s+1){\frac {(st+\alpha )}{\alpha )),s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\alpha (t+ one ))$
Geometriile parțiale sunt duale - structura duală pentru este pur și simplu structura . $pg(s,t,\alpha )$ $pg(t,s,\alpha )$

Cazuri speciale

Patrulaterele generalizate sunt exact geometrii parțiale cu . $pg(s,t,\alpha )$ $\alpha=1$
Sistemele Steiner sunt exact geometrii parțiale cu . $pg(s,t,\alpha )$ $\alpha =s+1$

Generalizări

Un spațiu parțial liniar de ordin se numește geometrie semi-parțială dacă există numere întregi astfel încât: $S=(P,L,I)$ $s,t$ $\alpha \geq 1,\mu$

Dacă un punct și o dreaptă nu sunt incidente, atunci există oricare sau exact perechi astfel încât este incident și este incident . $p$ $\ell$ $0$ $\alfa$ $(q,m)\în I$ $p$ $m$ $q$ $\ell$
Orice pereche de puncte necoliniare are exact vecini comuni. $\mu$

O geometrie semi-parțială este o geometrie parțială dacă și numai dacă . $\mu =\alpha (t+1)$

Este ușor de arătat că graficul de coliniaritate [1] al unei astfel de geometrii este strict regulat cu parametrii . $(1+s(t+1)+s(t+1)t(s-\alpha +1)/\mu ,s(t+1),s-1+t(\alpha -1) ,\mu )$

Un bun exemplu de astfel de geometrie se obține luând puncte afine și numai acele drepte care intersectează planul la infinit într-un punct dintr-un subplan Baer fix. Geometria are parametri . $PG(3,q^{2})$ $(s,t,\alpha ,\mu )=(q^{2}-1,q^{2}+q,q,q(q+1))$

Note

↑ 1 2 Având în vedere o geometrie parțială P în care orice două puncte definesc cel mult o linie, graficul de coliniaritate sau graficul de puncte al geometriei P este graficul ale cărui vârfuri sunt punctele P și două vârfuri sunt conectate printr-o muchie dacă și numai dacă definesc o linie în P. _

Literatură

Brouwer AE, van Lint JH Grafice puternic regulate și geometrii parțiale // Enumerare și proiectare / Jackson DM, Vanstone SA. Toronto: Academic Press, 1984. pp. 85–122.
Bose RC Grafice puternic regulate, geometrii parțiale și modele parțial echilibrate // Pacific J. Math. - 1963. - T. 13 . — S. 389–419 .
De Clerck F., Van Maldeghem H. Unele clase de geometrii de rang 2 // Handbook of Incidence Geometry. - Amsterdam: Olanda de Nord, 1995. - S. 433-475.
Thas JA Partial Geometries // Handbook of Combinatorial Designs / Colbourn Charles J., Dinitz Jeffrey H.. - 2nd. — Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, 2007. — p. 557–561. — ISBN 1-58488-506-8 .
Debroey I., Thas JA On semipartial geometries // Journal of Combinatorial Theory Ser. A. - 1978. - T. 25 . — S. 242–250 .